Номер 5, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

5. Укажите верное тождество:

A. $\frac{5a}{a^2 - 3} = \frac{5}{a - 3};$

B. $\frac{x + y}{x - y} = \frac{(x + y)^2}{x^2 - y^2};$

C. $\frac{b}{b - 3} = \frac{7b}{21 - 7b};$

D. $\frac{5}{11} = \frac{5}{11n}.$

A. Проверим тождество $\frac{5a}{a^2 - 3} = \frac{5}{a - 3}$. Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменных. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы проверить равенство: $5a(a - 3) = 5(a^2 - 3)$. Раскроем скобки в обеих частях уравнения: $5a^2 - 15a = 5a^2 - 15$. Вычтем $5a^2$ из обеих частей: $-15a = -15$. Разделим обе части на -15, чтобы найти $a$: $a = 1$. Поскольку равенство справедливо только для одного конкретного значения $a=1$, а не для всех допустимых значений, оно не является тождеством. Ответ: тождество неверно.

B. Проверим тождество $\frac{x + y}{x - y} = \frac{(x + y)^2}{x^2 - y^2}$. Преобразуем правую часть равенства. Знаменатель $x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Таким образом, правая часть принимает вид: $\frac{(x + y)^2}{(x - y)(x + y)}$. Сократим дробь на общий множитель $(x + y)$ (при условии, что $x + y \neq 0$): $\frac{(x + y)\cancel{(x + y)}}{(x - y)\cancel{(x + y)}} = \frac{x + y}{x - y}$. После преобразования правая часть стала идентична левой. Следовательно, это равенство является тождеством, так как оно верно для всех допустимых значений $x$ и $y$. Ответ: тождество верно.

C. Проверим тождество $\frac{b}{b - 3} = \frac{7b}{21 - 7b}$. Преобразуем правую часть равенства. В знаменателе $21 - 7b$ вынесем общий множитель 7 за скобки: $7(3 - b)$. Тогда дробь запишется как $\frac{7b}{7(3 - b)}$. Сократим на 7: $\frac{\cancel{7}b}{\cancel{7}(3 - b)} = \frac{b}{3 - b}$. Теперь сравним результат с левой частью $\frac{b}{b - 3}$. Выражение $3 - b$ можно записать как $-(b - 3)$. Тогда правая часть равна $\frac{b}{-(b - 3)} = -\frac{b}{b - 3}$. Исходное равенство принимает вид $\frac{b}{b - 3} = -\frac{b}{b - 3}$. Это равенство верно только если $\frac{b}{b - 3} = 0$, то есть при $b=0$. Оно неверно для других допустимых значений $b$, поэтому тождеством не является. Ответ: тождество неверно.

D. Проверим тождество $\frac{5}{11} = \frac{5}{11n}$. Поскольку числители дробей в обеих частях равенства одинаковы (оба равны 5), для выполнения равенства необходимо, чтобы были равны и знаменатели: $11 = 11n$. Решим это уравнение относительно $n$, разделив обе части на 11: $n = 1$. Так как равенство выполняется только при одном значении $n=1$, а не при всех допустимых значениях $n$ (где $n \neq 0$), оно не является тождеством. Ответ: тождество неверно.