Номер 9, страница 254 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

9. При каких значениях $\text{x}$ выполняется равенство $ \frac{2}{x^2 - 9} = \frac{1}{x - 3} + \frac{3}{x + 3} $?

A. 1;

B. 0;

C. 2;

D. -1.

Чтобы найти значение x, при котором выполняется равенство, необходимо решить следующее рациональное уравнение:

$ \frac{2}{x^2 - 9} = \frac{1}{x - 3} + \frac{3}{x + 3} $

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной x. Знаменатели дробей не могут равняться нулю:

$ x^2 - 9 \neq 0 \implies (x - 3)(x + 3) \neq 0 $, откуда следует, что $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Теперь приведем дроби в правой части уравнения к общему знаменателю. Общий знаменатель это $ (x - 3)(x + 3) = x^2 - 9 $.

$ \frac{1}{x - 3} + \frac{3}{x + 3} = \frac{1 \cdot (x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{3 \cdot (x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} $

Сложим числители, оставив общий знаменатель:

$ \frac{(x + 3) + 3(x - 3)}{x^2 - 9} = \frac{x + 3 + 3x - 9}{x^2 - 9} = \frac{4x - 6}{x^2 - 9} $

Теперь исходное уравнение можно переписать так:

$ \frac{2}{x^2 - 9} = \frac{4x - 6}{x^2 - 9} $

Поскольку дроби равны и их знаменатели одинаковы (и не равны нулю в ОДЗ), мы можем приравнять их числители:

$ 2 = 4x - 6 $

Решим это простое линейное уравнение:

$ 2 + 6 = 4x $

$ 8 = 4x $

$ x = \frac{8}{4} $

$ x = 2 $

Полученное значение $ x = 2 $ входит в область допустимых значений, так как $ 2 \neq 3 $ и $ 2 \neq -3 $. Следовательно, это и есть корень уравнения.

Ответ: 2.