Номер 15, страница 255 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

15. Упростите выражение $(\frac{6a}{5b})^2 \cdot (\frac{5b^3}{6a})^4 \cdot (6a)^2$:

A. $25b^{10}$;

B. $\frac{b^{10}}{5}$;

C. $30a^4b^{12}$;

D. 1.

Для упрощения выражения $ (\frac{6a}{5b})^2 \cdot (\frac{5b^3}{6a})^4 \cdot (6a)^2 $ необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Применим свойство возведения дроби в степень $ (\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n} $ к множителям в скобках:

$ \frac{(6a)^2}{(5b)^2} \cdot \frac{(5b^3)^4}{(6a)^4} \cdot (6a)^2 $

2. Перегруппируем множители, чтобы объединить выражения с одинаковыми основаниями. Запишем все выражение как одну дробь и сгруппируем числители и знаменатели:

$ \frac{(6a)^2 \cdot (6a)^2}{(6a)^4} \cdot \frac{(5b^3)^4}{(5b)^2} $

3. Упростим первую часть выражения с основанием $ (6a) $, используя свойства умножения степеней $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $ и деления степеней $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{(6a)^{2+2}}{(6a)^4} = \frac{(6a)^4}{(6a)^4} = (6a)^{4-4} = (6a)^0 = 1 $

4. Теперь упростим вторую часть выражения. Сначала раскроем скобки в числителе и знаменателе, используя свойства $ (xy)^n = x^n y^n $ и $ (x^m)^n = x^{mn} $:

$ \frac{5^4 (b^3)^4}{5^2 b^2} = \frac{5^4 b^{12}}{5^2 b^2} $

Далее, разделим степени с одинаковыми основаниями:

$ (\frac{5^4}{5^2}) \cdot (\frac{b^{12}}{b^2}) = 5^{4-2} \cdot b^{12-2} = 5^2 \cdot b^{10} = 25b^{10} $

5. Наконец, перемножим результаты, полученные в шагах 3 и 4:

$ 1 \cdot 25b^{10} = 25b^{10} $

Таким образом, исходное выражение равно $ 25b^{10} $.

Ответ: $25b^{10}$