Номер 41.12, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41.12. Если $x = \frac{3n}{n+2}$, то найдите значение выражения:

1) $\frac{x-3}{2x+n}$;

2) $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{x}$;

3) $\frac{3x-3}{(2+n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$.

1) Для нахождения значения выражения $\frac{x-3}{2x+n}$ подставим в него $x = \frac{3n}{n+2}$.

Сначала преобразуем числитель:

$x - 3 = \frac{3n}{n+2} - 3 = \frac{3n - 3(n+2)}{n+2} = \frac{3n - 3n - 6}{n+2} = \frac{-6}{n+2}$.

Теперь преобразуем знаменатель:

$2x + n = 2 \cdot \frac{3n}{n+2} + n = \frac{6n}{n+2} + \frac{n(n+2)}{n+2} = \frac{6n + n^2 + 2n}{n+2} = \frac{n^2+8n}{n+2}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{x-3}{2x+n} = \frac{\frac{-6}{n+2}}{\frac{n^2+8n}{n+2}} = \frac{-6}{n^2+8n} = \frac{-6}{n(n+8)}$.

Ответ: $\frac{-6}{n(n+8)}$.

2) Для нахождения значения выражения $\frac{2x-4n}{x+2n} + \frac{1}{x}$ подставим в него $x = \frac{3n}{n+2}$.

Сначала рассмотрим первое слагаемое $\frac{2x-4n}{x+2n}$.

Числитель: $2x - 4n = 2 \cdot \frac{3n}{n+2} - 4n = \frac{6n - 4n(n+2)}{n+2} = \frac{6n - 4n^2 - 8n}{n+2} = \frac{-4n^2 - 2n}{n+2}$.

Знаменатель: $x + 2n = \frac{3n}{n+2} + 2n = \frac{3n + 2n(n+2)}{n+2} = \frac{3n + 2n^2 + 4n}{n+2} = \frac{2n^2 + 7n}{n+2}$.

Значение первого слагаемого: $\frac{\frac{-4n^2 - 2n}{n+2}}{\frac{2n^2 + 7n}{n+2}} = \frac{-4n^2 - 2n}{2n^2 + 7n} = \frac{-2n(2n+1)}{n(2n+7)} = \frac{-2(2n+1)}{2n+7}$.

Теперь рассмотрим второе слагаемое:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{3n}{n+2}} = \frac{n+2}{3n}$.

Сложим полученные выражения:

$\frac{-2(2n+1)}{2n+7} + \frac{n+2}{3n} = \frac{-6n(2n+1) + (n+2)(2n+7)}{3n(2n+7)} = \frac{-12n^2 - 6n + 2n^2 + 7n + 4n + 14}{3n(2n+7)} = \frac{-10n^2 + 5n + 14}{3n(2n+7)}$.

Ответ: $\frac{-10n^2 + 5n + 14}{3n(2n+7)}$.

3) Для нахождения значения выражения $\frac{3x-3}{(2+n)x+n} - \frac{x-3}{2x-3n}$ подставим в него $x = \frac{3n}{n+2}$.

Преобразуем первое слагаемое $\frac{3x-3}{(2+n)x+n}$.

Из условия $x = \frac{3n}{n+2}$ следует, что $(n+2)x = 3n$.

Тогда знаменатель первого слагаемого равен $(2+n)x+n = 3n+n = 4n$.

Числитель первого слагаемого: $3x - 3 = 3 \cdot \frac{3n}{n+2} - 3 = \frac{9n - 3(n+2)}{n+2} = \frac{9n - 3n - 6}{n+2} = \frac{6n-6}{n+2}$.

Значение первого слагаемого: $\frac{\frac{6n-6}{n+2}}{4n} = \frac{6(n-1)}{4n(n+2)} = \frac{3(n-1)}{2n(n+2)}$.

Теперь преобразуем второе слагаемое $\frac{x-3}{2x-3n}$.

Числитель: $x - 3 = \frac{3n}{n+2} - 3 = \frac{3n - 3(n+2)}{n+2} = \frac{-6}{n+2}$.

Знаменатель: $2x - 3n = 2 \cdot \frac{3n}{n+2} - 3n = \frac{6n - 3n(n+2)}{n+2} = \frac{6n - 3n^2 - 6n}{n+2} = \frac{-3n^2}{n+2}$.

Значение второго слагаемого: $\frac{\frac{-6}{n+2}}{\frac{-3n^2}{n+2}} = \frac{-6}{-3n^2} = \frac{2}{n^2}$.

Найдем разность полученных выражений:

$\frac{3(n-1)}{2n(n+2)} - \frac{2}{n^2} = \frac{3n(n-1) - 4(n+2)}{2n^2(n+2)} = \frac{3n^2 - 3n - 4n - 8}{2n^2(n+2)} = \frac{3n^2 - 7n - 8}{2n^2(n+2)}$.

Ответ: $\frac{3n^2-7n-8}{2n^2(n+2)}$.