Номер 41.2, страница 249 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Выполните действия (41.1-41.2):

41.2. 1) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{16m}{10m-5}$

2) $\frac{y+3}{y^2+9} \cdot (\frac{y+3}{y-3} + \frac{y-3}{y+3})$

1)Выполним действия по шагам.

Первое действие — вычитание в скобках. Приводим дроби к общему знаменателю $(2m - 1)(2m + 1)$:

$\frac{2m + 1}{2m - 1} - \frac{2m - 1}{2m + 1} = \frac{(2m + 1)^2 - (2m - 1)^2}{(2m - 1)(2m + 1)}$

К числителю применяем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$(2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1)-(2m-1))((2m+1)+(2m-1)) = (2)(4m) = 8m$.

Результат в скобках: $\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{8m}{4m^2-1}$.

Второе действие — деление. Заменяем деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{8m}{4m^2 - 1} : \frac{16m}{10m - 5} = \frac{8m}{4m^2-1} \cdot \frac{10m-5}{16m}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и числитель второй:

$\frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{16m}$

Сокращаем общие множители $8m$ и $(2m-1)$:

$\frac{\cancel{8m}}{\cancel{(2m-1)}(2m+1)} \cdot \frac{5\cancel{(2m-1)}}{\cancel{16m}_2} = \frac{5}{2(2m+1)}$.

Ответ: $\frac{5}{2(2m+1)}$.

2)Выполним действия по шагам.

Первое действие — сложение в скобках. Общий знаменатель: $(y - 3)(y + 3)$.

$\frac{y + 3}{y - 3} + \frac{y - 3}{y + 3} = \frac{(y + 3)^2 + (y - 3)^2}{(y - 3)(y + 3)}$

Раскрываем квадраты в числителе:

$(y^2+6y+9) + (y^2-6y+9) = 2y^2+18 = 2(y^2+9)$.

Результат в скобках: $\frac{2(y^2+9)}{y^2-9}$.

Второе действие — умножение:

$\frac{y + 3}{y^2 + 9} \cdot \frac{2(y^2 + 9)}{y^2 - 9}$

Сокращаем общий множитель $(y^2+9)$:

$\frac{y + 3}{\cancel{y^2 + 9}} \cdot \frac{2(\cancel{y^2 + 9})}{y^2 - 9} = \frac{2(y+3)}{y^2-9}$

Разложим знаменатель по формуле разности квадратов $y^2-9 = (y-3)(y+3)$ и сократим дробь:

$\frac{2(y+3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{2\cancel{(y+3)}}{(y-3)\cancel{(y+3)}} = \frac{2}{y-3}$.

Ответ: $\frac{2}{y-3}$.