Номер 40.11, страница 246 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

40.11. Выполните действия:

1) $\frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx} : (x - y);$

2) $\frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} \cdot (a + 1);$

3) $\frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{7x + 7y} : ax;$

4) $\frac{b^3 - 8}{b^2 - 9} \cdot \frac{b + 3}{b^2 + 2b + 4};$

5) $\frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : (x - y);$

6) $\frac{c^2 + 6c + 9}{c^3 + 27} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3c + 9} : (c - 3).$

1) Для решения выражения $ \frac{mx^2 - my^2}{2m + 8} \cdot \frac{3m + 12}{my + mx} : (x - y) $ необходимо последовательно выполнить действия умножения и деления дробей.

Сначала разложим числители и знаменатели дробей на множители, используя вынесение общего множителя за скобки и формулу разности квадратов:

$ mx^2 - my^2 = m(x^2 - y^2) = m(x-y)(x+y) $

$ 2m + 8 = 2(m+4) $

$ 3m + 12 = 3(m+4) $

$ my + mx = m(y+x) = m(x+y) $

Деление на выражение $ (x-y) $ эквивалентно умножению на обратную дробь $ \frac{1}{x-y} $.

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в исходное:

$ \frac{m(x-y)(x+y)}{2(m+4)} \cdot \frac{3(m+4)}{m(x+y)} \cdot \frac{1}{x-y} $

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $ m $ в числителе первой дроби и в знаменателе второй; $ (x+y) $ в числителе первой дроби и в знаменателе второй; $ (m+4) $ в знаменателе первой дроби и в числителе второй; $ (x-y) $ в числителе первой дроби и в знаменателе третьей.

$ \frac{\cancel{m}\cancel{(x-y)}\cancel{(x+y)}}{2\cancel{(m+4)}} \cdot \frac{3\cancel{(m+4)}}{\cancel{m}\cancel{(x+y)}} \cdot \frac{1}{\cancel{x-y}} = \frac{3}{2} $

Ответ: $ \frac{3}{2} $

2) Для решения выражения $ \frac{a^2 - 1}{a^3 + 1} \cdot \frac{a^2 - a + 1}{a^2 + 2a + 1} \cdot (a + 1) $ разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения.

$ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $ (формула разности квадратов).

$ a^3 + 1 = (a+1)(a^2-a+1) $ (формула суммы кубов).

$ a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2 $ (формула квадрата суммы).

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{(a-1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)} \cdot \frac{a^2-a+1}{(a+1)^2} \cdot \frac{a+1}{1} $

Объединим все в одну дробь и произведем сокращение одинаковых множителей:

$ \frac{(a-1)(a+1)(a^2-a+1)(a+1)}{(a+1)(a^2-a+1)(a+1)^2} = \frac{(a-1)(a+1)^2(a^2-a+1)}{(a+1)^3(a^2-a+1)} $

Сокращаем $ (a^2-a+1) $ и $ (a+1)^2 $:

$ \frac{a-1}{a+1} $

Ответ: $ \frac{a-1}{a+1} $

3) Для решения выражения $ \frac{ax + ay}{x^2 - 2xy + y^2} : \frac{x^2 - xy}{7x + 7y} : ax $ заменим операции деления на умножение на обратные дроби и разложим многочлены на множители.

$ ax + ay = a(x+y) $

$ x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2 $ (формула квадрата разности).

Деление на $ \frac{x^2 - xy}{7x + 7y} $ заменяем на умножение на $ \frac{7x + 7y}{x^2 - xy} = \frac{7(x+y)}{x(x-y)} $.

Деление на $ ax $ заменяем на умножение на $ \frac{1}{ax} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a(x+y)}{(x-y)^2} \cdot \frac{7(x+y)}{x(x-y)} \cdot \frac{1}{ax} $

Перемножим числители и знаменатели:

$ \frac{a(x+y) \cdot 7(x+y) \cdot 1}{(x-y)^2 \cdot x(x-y) \cdot ax} = \frac{7a(x+y)^2}{ax^2(x-y)^3} $

Сократим общий множитель $ a $:

$ \frac{7(x+y)^2}{x^2(x-y)^3} $

Ответ: $ \frac{7(x+y)^2}{x^2(x-y)^3} $

4) Для решения выражения $ \frac{b^3 - 8}{b^2 - 9} \cdot \frac{b + 3}{b^2 + 2b + 4} $ разложим на множители числители и знаменатели.

$ b^3 - 8 = b^3 - 2^3 = (b-2)(b^2+2b+4) $ (формула разности кубов).

$ b^2 - 9 = b^2 - 3^2 = (b-3)(b+3) $ (формула разности квадратов).

Подставим разложения в выражение:

$ \frac{(b-2)(b^2+2b+4)}{(b-3)(b+3)} \cdot \frac{b+3}{b^2+2b+4} $

Сократим общие множители. Множитель $ (b^2+2b+4) $ в числителе первой дроби и в знаменателе второй; множитель $ (b+3) $ в знаменателе первой дроби и в числителе второй.

$ \frac{(b-2)\cancel{(b^2+2b+4)}}{(b-3)\cancel{(b+3)}} \cdot \frac{\cancel{b+3}}{\cancel{b^2+2b+4}} = \frac{b-2}{b-3} $

Ответ: $ \frac{b-2}{b-3} $

5) Для решения выражения $ \frac{x^3 - y^3}{x + y} \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + xy + y^2} : (x - y) $ разложим многочлены на множители и заменим деление умножением.

$ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2) $ (формула разности кубов).

$ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ (формула разности квадратов).

Деление на $ (x-y) $ заменяем на умножение на $ \frac{1}{x-y} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{x+y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{x^2+xy+y^2} \cdot \frac{1}{x-y} $

Запишем все множители в одну дробь для удобства сокращения:

$ \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)(x-y)(x+y)}{(x+y)(x^2+xy+y^2)(x-y)} $

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе: $ (x+y) $, $ (x^2+xy+y^2) $ и $ (x-y) $.

После сокращения остается:

$ x-y $

Ответ: $ x-y $

6) Для решения выражения $ \frac{c^2 + 6c + 9}{c^3 + 27} \cdot \frac{c^2 - 3c + 9}{3c + 9} : (c - 3) $ разложим многочлены на множители и заменим деление умножением.

$ c^2 + 6c + 9 = (c+3)^2 $ (формула квадрата суммы).

$ c^3 + 27 = c^3 + 3^3 = (c+3)(c^2-3c+9) $ (формула суммы кубов).

$ 3c + 9 = 3(c+3) $

Деление на $ (c-3) $ заменяем на умножение на $ \frac{1}{c-3} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{(c+3)^2}{(c+3)(c^2-3c+9)} \cdot \frac{c^2-3c+9}{3(c+3)} \cdot \frac{1}{c-3} $

Запишем все в виде одной дроби:

$ \frac{(c+3)^2(c^2-3c+9)}{(c+3)(c^2-3c+9) \cdot 3(c+3) \cdot (c-3)} $

В знаменателе $ (c+3)(c+3) = (c+3)^2 $. Получаем:

$ \frac{(c+3)^2(c^2-3c+9)}{3(c+3)^2(c^2-3c+9)(c-3)} $

Сократим общие множители $ (c+3)^2 $ и $ (c^2-3c+9) $:

$ \frac{1}{3(c-3)} $

Ответ: $ \frac{1}{3(c-3)} $