Проанализируй и ответь, страница 231 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Докажите, что это правило можно использовать при сложении трех дробей с одинаковыми знаменателями. Почему это правило можно использовать и для четырех и более чисел дробей с одинаковыми знаменателями?

Докажите, что это правило можно использовать при сложении трех дробей с одинаковыми знаменателями.

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями сформулировано для двух дробей. Чтобы доказать, что оно работает и для трех дробей, мы можем использовать сочетательный (ассоциативный) закон сложения, который позволяет нам группировать слагаемые в любом порядке.

Рассмотрим сумму трех рациональных дробей с одинаковым знаменателем $c$: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{d}{c} $.

Сначала сгруппируем первые две дроби и сложим их, используя данное правило:

$ (\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) + \frac{d}{c} = \frac{a+b}{c} + \frac{d}{c} $

Теперь у нас снова получилась сумма двух дробей с одинаковым знаменателем $c$. Первая дробь имеет числитель $(a+b)$, а вторая — $d$. Снова применяем правило:

$ \frac{a+b}{c} + \frac{d}{c} = \frac{(a+b)+d}{c} $

Так как для чисел (или многочленов, которыми являются числители) также действует сочетательный закон сложения, мы можем убрать скобки в числителе: $(a+b)+d = a+b+d$.

В итоге получаем:

$ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} + \frac{d}{c} = \frac{a+b+d}{c} $

Это и доказывает, что для сложения трех дробей с одинаковыми знаменателями нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

Ответ: Применение правила сложения двух дробей последовательно (сначала к первым двум, а затем к результату и третьей дроби) и использование сочетательного закона сложения доказывают, что для сложения трех дробей достаточно сложить их числители, оставив знаменатель прежним.

Почему это правило можно использовать и для четырех и более чисел дробей с одинаковыми знаменателями?

Этот принцип можно обобщить для любого количества дробей с одинаковыми знаменателями благодаря тому же сочетательному закону сложения. Процесс, примененный для трех дробей, можно продолжить и дальше.

Например, для четырех дробей:

$ \frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d} + \frac{e}{d} $

Мы можем сгруппировать слагаемые как сумму трех дробей и еще одной:

$ (\frac{a}{d} + \frac{b}{d} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{d} $

Как мы уже доказали в предыдущем пункте, сумма в скобках равна $ \frac{a+b+c}{d} $. Тогда выражение принимает вид:

$ \frac{a+b+c}{d} + \frac{e}{d} = \frac{(a+b+c)+e}{d} = \frac{a+b+c+e}{d} $

Этот метод можно продолжать для пяти, шести и любого конечного числа дробей. Каждый раз мы будем сводить задачу к сложению уже найденной суммы с очередной дробью. Этот метод рассуждений называется математической индукцией. Мы доказали, что если правило верно для $k$ дробей, то оно будет верно и для $k+1$ дроби. Поскольку оно верно для двух дробей (по определению), оно верно для трех, четырех и так далее, до любого количества $n$.

Ответ: Правило можно использовать для любого количества дробей, так как сочетательный закон сложения позволяет нам последовательно применять правило для двух дробей, каждый раз добавляя к полученной сумме следующую дробь. В результате числитель итоговой дроби будет равен сумме всех числителей, а знаменатель останется прежним.