Номер 38.8, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

38.8. Сократите дробно-рациональное выражение:

1) $\frac{18a - 3a^2}{8a^2 - 48a}$;

2) $\frac{8p - 40}{15 - 3p}$;

3) $\frac{4 - x^2}{10 - 5x}$;

4) $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$;

5) $\frac{ax + bx - ay - by}{bx - by}$;

6) $\frac{a^2 - 6a + 9}{27 - a^3}$;

7) $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$;

8) $\frac{(4c + 12d)^2}{c + 3d}$;

9) $\frac{4x^2 - y^2}{(6x - 3y)^2}$;

10) $\frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a}$.

1) Дано выражение $\frac{18a \cdot 3a^2}{8a^2 - 48a}$.

Упростим числитель: $18a \cdot 3a^2 = 54a^3$.

Разложим знаменатель на множители, вынеся общий множитель $8a$ за скобки: $8a^2 - 48a = 8a(a - 6)$.

Теперь дробь выглядит так: $\frac{54a^3}{8a(a-6)}$.

Сократим дробь на общий множитель $2a$: $\frac{54a^3}{8a(a-6)} = \frac{27a^2}{4(a-6)}$.

Ответ: $\frac{27a^2}{4(a-6)}$.

2) Дано выражение $\frac{8p - 40}{15 - 3p}$.

Разложим числитель на множители: $8p - 40 = 8(p - 5)$.

Разложим знаменатель на множители: $15 - 3p = 3(5 - p) = -3(p - 5)$.

Подставим полученные выражения в дробь: $\frac{8(p - 5)}{-3(p - 5)}$.

Сократим на общий множитель $(p - 5)$: $\frac{8}{-3} = -\frac{8}{3}$.

Ответ: $-\frac{8}{3}$.

3) Дано выражение $\frac{4 - x^2}{10 - 5x}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)$.

Разложим знаменатель на множители: $10 - 5x = 5(2 - x)$.

Подставим в дробь: $\frac{(2 - x)(2 + x)}{5(2 - x)}$.

Сократим на общий множитель $(2 - x)$: $\frac{2 + x}{5}$.

Ответ: $\frac{2 + x}{5}$.

4) Дано выражение $\frac{(3x + 6y)^2}{5x + 10y}$.

Преобразуем числитель, вынеся общий множитель 3 из скобок: $(3x + 6y)^2 = (3(x + 2y))^2 = 9(x + 2y)^2$.

Разложим знаменатель на множители: $5x + 10y = 5(x + 2y)$.

Дробь примет вид: $\frac{9(x + 2y)^2}{5(x + 2y)}$.

Сократим на общий множитель $(x + 2y)$: $\frac{9(x + 2y)}{5}$.

Ответ: $\frac{9(x + 2y)}{5}$.

5) Дано выражение $\frac{ax + bx - ay - by}{bx - by}$.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ax + bx - ay - by = (ax + bx) - (ay + by) = x(a + b) - y(a + b) = (x - y)(a + b)$.

Разложим знаменатель на множители: $bx - by = b(x - y)$.

Подставим в дробь: $\frac{(x - y)(a + b)}{b(x - y)}$.

Сократим на общий множитель $(x - y)$: $\frac{a + b}{b}$.

Ответ: $\frac{a + b}{b}$.

6) Дано выражение $\frac{a^2 - 6a + 9}{27 - a^3}$.

Разложим числитель по формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$: $a^2 - 6a + 9 = (a - 3)^2$.

Разложим знаменатель по формуле разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$: $27 - a^3 = 3^3 - a^3 = (3 - a)(9 + 3a + a^2)$.

Дробь примет вид: $\frac{(a - 3)^2}{(3 - a)(9 + 3a + a^2)} = \frac{(a - 3)^2}{-(a - 3)(a^2 + 3a + 9)}$.

Сократим на общий множитель $(a - 3)$: $\frac{a - 3}{-(a^2 + 3a + 9)} = -\frac{a - 3}{a^2 + 3a + 9} = \frac{3 - a}{a^2 + 3a + 9}$.

Ответ: $\frac{3 - a}{a^2 + 3a + 9}$.

7) Дано выражение $\frac{(2a - 2b)^2}{a - b}$.

Преобразуем числитель, вынеся общий множитель 2 из скобок: $(2a - 2b)^2 = (2(a - b))^2 = 4(a - b)^2$.

Дробь примет вид: $\frac{4(a - b)^2}{a - b}$.

Сократим на общий множитель $(a - b)$: $4(a - b)$.

Ответ: $4(a - b)$.

8) Дано выражение $\frac{(4c + 12d)^2}{c + 3d}$.

Преобразуем числитель, вынеся общий множитель 4 из скобок: $(4c + 12d)^2 = (4(c + 3d))^2 = 16(c + 3d)^2$.

Дробь примет вид: $\frac{16(c + 3d)^2}{c + 3d}$.

Сократим на общий множитель $(c + 3d)$: $16(c + 3d)$.

Ответ: $16(c + 3d)$.

9) Дано выражение $\frac{4x^2 - y^2}{(6x - 3y)^2}$.

Разложим числитель по формуле разности квадратов: $4x^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$.

Преобразуем знаменатель: $(6x - 3y)^2 = (3(2x - y))^2 = 9(2x - y)^2$.

Дробь примет вид: $\frac{(2x - y)(2x + y)}{9(2x - y)^2}$.

Сократим на общий множитель $(2x - y)$: $\frac{2x + y}{9(2x - y)}$.

Ответ: $\frac{2x + y}{9(2x - y)}$.

10) Дано выражение $\frac{ab - 3b - 2a + 6}{15 - 5a}$.

Разложим числитель на множители методом группировки: $ab - 3b - 2a + 6 = b(a - 3) - 2(a - 3) = (b - 2)(a - 3)$.

Разложим знаменатель на множители: $15 - 5a = 5(3 - a) = -5(a - 3)$.

Дробь примет вид: $\frac{(b - 2)(a - 3)}{-5(a - 3)}$.

Сократим на общий множитель $(a - 3)$: $\frac{b - 2}{-5} = -\frac{b - 2}{5} = \frac{2 - b}{5}$.

Ответ: $\frac{2 - b}{5}$.