Вопросы для закрепления, страница 228 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Может ли быть тождеством равенство, которое при каких-либо значениях переменной: является неверным равенством; не имеет смысла?

2. При каких значениях переменной выполняется основное свойство алгебраической дроби?

1. Равенство не может быть тождеством, если при каком-либо допустимом значении переменной оно является неверным равенством. По определению, тождество — это равенство, которое верно при всех допустимых значениях переменных. Если существует хотя бы одно допустимое значение, при котором равенство неверно, оно по определению не является тождеством.

Ответ: Нет, не может.

С другой стороны, равенство может быть тождеством, если при каких-либо значениях переменной оно не имеет смысла. Такие значения просто не входят в область допустимых значений (ОДЗ) равенства. Тождество должно выполняться для всех значений переменных из ОДЗ. Например, равенство $ \frac{a^2 - 9}{a + 3} = a - 3 $ является тождеством. При $ a = -3 $ левая часть равенства не имеет смысла (деление на ноль). Но это значение не входит в ОДЗ, а для всех остальных значений $ a $ ($ a \neq -3 $) равенство верно.

Ответ: Да, может.

2. Основное свойство алгебраической дроби гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной. В виде формулы: $ \frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C} $.

Это свойство выполняется при тех значениях переменных, при которых соблюдаются два ключевых условия. Во-первых, исходная дробь должна иметь смысл, то есть её знаменатель $B$ не должен быть равен нулю ($ B \neq 0 $). Во-вторых, многочлен $C$, на который производится умножение, также не должен быть равен нулю ($ C \neq 0 $). Это требование необходимо, поскольку умножение на ноль привело бы к неопределенности, а обратная операция (сокращение дроби) подразумевает деление на $C$, что недопустимо при $C=0$.

Ответ: Основное свойство алгебраической дроби выполняется при всех значениях переменных, для которых и знаменатель исходной дроби, и выражение, на которое умножаются числитель и знаменатель, не равны нулю.