Проанализируй и ответь, страница 226 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Какое основное свойство алгебраической дроби и как его применять?

Основное свойство алгебраической дроби

Основное свойство алгебраической дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится дробь, тождественно равная данной.

Математически это можно выразить так:

Для любой алгебраической дроби $\frac{A}{B}$, где $A$ и $B$ — многочлены и $B \neq 0$, и любого ненулевого многочлена $C \neq 0$, справедливы следующие равенства:

1. Умножение: $\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}$

2. Деление: $\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$

Это свойство является прямым аналогом основного свойства обыкновенных дробей. Важно помнить, что все преобразования выполняются в области допустимых значений переменных (ОДЗ), то есть при тех значениях, при которых знаменатели исходной и полученной дробей не равны нулю.

Ответ: Значение алгебраической дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен.

Применение основного свойства алгебраической дроби

Основное свойство алгебраической дроби используется для двух основных операций: сокращения дробей и приведения дробей к общему знаменателю.

1. Сокращение алгебраических дробей

Сокращение — это упрощение дроби путем деления ее числителя и знаменателя на их общий множитель.

Алгоритм сокращения:

1. Разложить на множители числитель и знаменатель дроби.
2. Найти общие множители в числителе и знаменателе.
3. Разделить (сократить) числитель и знаменатель на все их общие множители.

Пример: Сократить дробь $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$.

1. Разложим на множители числитель и знаменатель, используя формулы сокращенного умножения:

Числитель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ (разность квадратов).

Знаменатель: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 = (x + 3)(x + 3)$ (квадрат суммы).

2. Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:

$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)(x + 3)}$

3. Общий множитель здесь — $(x + 3)$. Сократим на него:

$\frac{(x - 3)\cancel{(x + 3)}}{(x + 3)\cancel{(x + 3)}} = \frac{x - 3}{x + 3}$

Равенство верно при всех $x$, кроме $x = -3$, так как при этом значении исходный знаменатель обращается в ноль.

2. Приведение дробей к общему знаменателю

Это преобразование необходимо для сложения и вычитания алгебраических дробей. Дроби приводятся к новому (общему) знаменателю путем умножения их числителей и знаменателей на дополнительные множители.

Алгоритм приведения к общему знаменателю:

1. Разложить на множители знаменатели всех дробей.
2. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ), который обычно является наименьшим общим кратным (НОК) исходных знаменателей.
3. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Он равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.
4. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Пример: Привести к общему знаменателю дроби $\frac{a}{2x - 4}$ и $\frac{b}{3x - 6}$.

1. Разложим знаменатели на множители:

$2x - 4 = 2(x - 2)$

$3x - 6 = 3(x - 2)$

2. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) будет содержать все множители из обоих знаменателей в наибольшей степени. НОЗ = $2 \cdot 3 \cdot (x - 2) = 6(x - 2)$.

3. Найдем дополнительные множители:

Для первой дроби: $\frac{6(x - 2)}{2(x - 2)} = 3$.

Для второй дроби: $\frac{6(x - 2)}{3(x - 2)} = 2$.

4. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на свой дополнительный множитель:

$\frac{a}{2(x - 2)} = \frac{a \cdot 3}{2(x - 2) \cdot 3} = \frac{3a}{6(x - 2)}$

$\frac{b}{3(x - 2)} = \frac{b \cdot 2}{3(x - 2) \cdot 2} = \frac{2b}{6(x - 2)}$

Теперь обе дроби имеют одинаковый знаменатель.

Ответ: Основное свойство алгебраической дроби применяется для ее сокращения (упрощения) путем деления числителя и знаменателя на общий множитель, а также для приведения нескольких дробей к общему знаменателю (для сложения и вычитания) путем умножения числителя и знаменателя на дополнительный множитель.