Номер 37.10, страница 225 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

37.10. 1) Найдите значение дроби $ \frac{3x}{x^3 - 3x^2} $, если оно существует при: $x = 0; x = 0,5; x = 2; x = 4,6; x = 3.$

2) Вычислите значение дроби $ \frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2} $, если оно существует при: $c = -2; c = 4,5; c = 6\frac{1}{4}; c = \frac{2}{3}; c = 1,5.$

1) Дана дробь $\frac{3x}{x^3 - 3x^2}$.

Значение дроби существует, если ее знаменатель не равен нулю. Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^3 - 3x^2 = 0$

$x^2(x - 3) = 0$

Это равенство выполняется при $x = 0$ или $x = 3$. Следовательно, при этих значениях $x$ дробь не существует (не определена), так как происходит деление на ноль.

Для всех остальных значений $x$ ($x \neq 0$ и $x \neq 3$) дробь можно упростить, вынеся общий множитель в знаменателе и сократив дробь:

$\frac{3x}{x^3 - 3x^2} = \frac{3x}{x^2(x - 3)} = \frac{3}{x(x - 3)}$

Теперь вычислим значения дроби для заданных $x$:

• При $x = 0$: Значение дроби не существует, так как знаменатель обращается в ноль.
• При $x = 0,5$: Подставляем в упрощенную формулу:

  $\frac{3}{0,5(0,5 - 3)} = \frac{3}{0,5(-2,5)} = \frac{3}{-1,25} = -2,4$

• При $x = 2$: Подставляем в упрощенную формулу:

  $\frac{3}{2(2 - 3)} = \frac{3}{2(-1)} = \frac{3}{-2} = -1,5$

• При $x = 4,6$: Подставляем в упрощенную формулу:

  $\frac{3}{4,6(4,6 - 3)} = \frac{3}{4,6 \cdot 1,6} = \frac{3}{7,36} = \frac{300}{736} = \frac{75}{184}$

• При $x = 3$: Значение дроби не существует, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: при $x=0,5$ значение равно $-2,4$; при $x=2$ значение равно $-1,5$; при $x=4,6$ значение равно $\frac{75}{184}$; при $x=0$ и $x=3$ значение дроби не существует.

2) Дана дробь $\frac{2c - 3}{2c^3 - 3c^2}$.

Найдем область допустимых значений. Знаменатель не должен быть равен нулю:

$2c^3 - 3c^2 \neq 0$

$c^2(2c - 3) \neq 0$

Это означает, что $c^2 \neq 0$ и $2c - 3 \neq 0$. То есть, $c \neq 0$ и $c \neq \frac{3}{2} = 1,5$. При этих значениях $c$ дробь не определена.

Для всех $c$, где дробь определена, мы можем ее упростить, так как числитель и один из множителей знаменателя совпадают:

$\frac{2c - 3}{c^2(2c - 3)} = \frac{1}{c^2}$

Вычислим значения дроби для заданных $c$:

• При $c = -2$: Значение существует.

  $\frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$

• При $c = 4,5$: Значение существует. $c=4,5 = \frac{9}{2}$.

  $\frac{1}{(4,5)^2} = \frac{1}{(\frac{9}{2})^2} = \frac{1}{\frac{81}{4}} = \frac{4}{81}$

• При $c = 6\frac{1}{4}$: Значение существует. $c=6\frac{1}{4} = \frac{25}{4}$.

  $\frac{1}{(6\frac{1}{4})^2} = \frac{1}{(\frac{25}{4})^2} = \frac{1}{\frac{625}{16}} = \frac{16}{625}$

• При $c = \frac{2}{3}$: Значение существует.

  $\frac{1}{(\frac{2}{3})^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4} = 2,25$

• При $c = 1,5$: Значение дроби не существует, так как знаменатель обращается в ноль.

Ответ: при $c=-2$ значение равно $\frac{1}{4}$; при $c=4,5$ значение равно $\frac{4}{81}$; при $c=6\frac{1}{4}$ значение равно $\frac{16}{625}$; при $c=\frac{2}{3}$ значение равно $\frac{9}{4}$; при $c=1,5$ значение дроби не существует.