Вопросы, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Какая функция называется линейной функцией?

2. Приведите примеры линейных функций.

3. Какая линия является графиком линейной функции?

4. Может ли графиком линейной функции быть прямая: 1) параллельная оси абсцисс; 2) параллельная оси ординат?

5. Как найти точки пересечения графика линейной функции с осями координат?

6. Как по графику линейной функции $y = kx + b$ узнать знаки $k$ и $b$?

7. Как построить график функции $y = kx$? Как его расположение зависит от $k$?

1. Какая функция называется линейной функцией?

Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

Ответ: Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$.

2. Приведите примеры линейных функций.

Примерами линейных функций могут служить:

$y = 3x + 7$ (здесь $k=3, b=7$)

$y = -0.5x - 2$ (здесь $k=-0.5, b=-2$)

$y = 4x$ (частный случай, называемый прямой пропорциональностью, где $b=0$)

$y = -9$ (частный случай, где $k=0$)

Ответ: $y = 2x + 5$, $y = -x - 1$, $y = 3x$, $y = -4$.

3. Какая линия является графиком линейной функции?

Графиком любой линейной функции является прямая линия.

Ответ: Прямая линия.

4. Может ли графиком линейной функции быть прямая: 1) параллельная оси абсцисс; 2) параллельная оси ординат?

1) параллельная оси абсцисс: Да, может. Прямая, параллельная оси абсцисс (оси OX), задается уравнением $y = c$, где $c$ — константа. Это соответствует линейной функции $y = kx + b$ при условии, что угловой коэффициент $k=0$. В этом случае уравнение принимает вид $y = 0 \cdot x + b$, то есть $y = b$.

2) параллельная оси ординат: Нет, не может. Прямая, параллельная оси ординат (оси OY), задается уравнением $x = c$. В этом уравнении одному значению аргумента $x=c$ соответствует бесконечно много значений функции $y$. Это противоречит определению функции, согласно которому каждому значению аргумента должно соответствовать единственное значение функции.

Ответ: 1) Да, может (при $k=0$). 2) Нет, не может.

5. Как найти точки пересечения графика линейной функции с осями координат?

Точки пересечения графика с осями координат находятся следующим образом:

С осью ординат (осью OY): Все точки на оси OY имеют координату $x=0$. Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить $x=0$ в уравнение $y = kx + b$. Получаем $y = k \cdot 0 + b$, откуда $y=b$. Координаты точки пересечения с осью OY: $(0, b)$.

С осью абсцисс (осью OX): Все точки на оси OX имеют координату $y=0$. Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить $y=0$ в уравнение $y = kx + b$. Получаем $0 = kx + b$. Отсюда, если $k \neq 0$, находим $x = -b/k$. Координаты точки пересечения с осью OX: $(-b/k, 0)$. Если $k=0$ и $b \neq 0$, то график параллелен оси OX и не пересекает ее.

Ответ: Для нахождения точки пересечения с осью ординат (OY) нужно в уравнение функции подставить $x=0$. Для нахождения точки пересечения с осью абсцисс (OX) нужно подставить $y=0$.

6. Как по графику линейной функции y = kx + b узнать знаки k и b?

Знаки коэффициентов $k$ и $b$ в уравнении $y = kx + b$ можно определить по виду графика.

Коэффициент b: Этот коэффициент равен ординате точки пересечения графика с осью OY. - Если график пересекает ось OY выше начала координат, то $b > 0$. - Если график пересекает ось OY ниже начала координат, то $b < 0$. - Если график проходит через начало координат, то $b = 0$.

Коэффициент k (угловой коэффициент): Этот коэффициент определяет угол наклона прямой. - Если прямая "поднимается" слева направо (функция возрастает), то $k > 0$. Угол наклона к положительному направлению оси OX — острый. - Если прямая "опускается" слева направо (функция убывает), то $k < 0$. Угол наклона — тупой. - Если прямая горизонтальна, то $k = 0$.

Ответ: Знак $b$ определяется по точке пересечения с осью OY (выше оси — $b>0$, ниже — $b<0$). Знак $k$ определяется по наклону прямой (возрастает — $k>0$, убывает — $k<0$).

7. Как построить график функции y = kx? Как его расположение зависит от k?

Функция $y=kx$ является частным случаем линейной функции $y=kx+b$, где $b=0$. Она называется прямой пропорциональностью.

Построение графика: 1. Графиком является прямая линия. 2. Так как $b=0$, эта прямая всегда проходит через начало координат — точку $(0, 0)$. 3. Для построения прямой достаточно двух точек. Первая точка — $(0, 0)$. Вторую точку можно найти, выбрав любое удобное значение $x \neq 0$ и вычислив соответствующий $y$. Например, при $x=1$ получаем $y=k$. Вторая точка — $(1, k)$. 4. Провести прямую через точки $(0, 0)$ и $(1, k)$.

Зависимость от k: Коэффициент $k$ определяет расположение и "крутизну" графика. - Если $k>0$, график расположен в I и III координатных четвертях. - Если $k<0$, график расположен во II и IV координатных четвертях. - Чем больше абсолютное значение $|k|$, тем "круче" прямая, то есть тем ближе она прижимается к оси OY. - Если $k=0$, график совпадает с осью OX ($y=0$).

Ответ: График функции $y=kx$ — это прямая, проходящая через начало координат; для ее построения достаточно найти еще одну точку. При $k>0$ график лежит в I и III четвертях, при $k<0$ — во II и IV.