Номер 8, страница 7 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Ключникова, Комиссарова

Параграф 1. Числовые и алгебраические выражения. Глава 1. Математический язык. Математическая модель - номер 8, страница 7.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) положительно
Значение выражения $\frac{2a - 5}{a + 1}$ будет положительным, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Это эквивалентно решению неравенства $\frac{2a - 5}{a + 1} > 0$.
Решим данное неравенство методом интервалов.
1. Найдем точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю.
Нуль числителя: $2a - 5 = 0 \implies 2a = 5 \implies a = 2.5$.
Нуль знаменателя: $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Они разделят прямую на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 2.5)$ и $(2.5; +\infty)$.
3. Определим знак выражения на каждом интервале, подставив любое значение из него.
- Для интервала $(2.5; +\infty)$, возьмем $a = 3$: $\frac{2(3) - 5}{3 + 1} = \frac{1}{4} > 0$. Знак "+".
- Для интервала $(-1; 2.5)$, возьмем $a = 0$: $\frac{2(0) - 5}{0 + 1} = \frac{-5}{1} = -5 < 0$. Знак "-".
- Для интервала $(-\infty; -1)$, возьмем $a = -2$: $\frac{2(-2) - 5}{-2 + 1} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0$. Знак "+".
Выражение положительно на интервалах, где стоит знак "+".
Ответ: $a \in (-\infty; -1) \cup (2.5; +\infty)$.

б) отрицательно
Значение выражения $\frac{2a - 5}{a + 1}$ будет отрицательным, если числитель и знаменатель имеют разные знаки. Это эквивалентно решению неравенства $\frac{2a - 5}{a + 1} < 0$.
Используя результаты анализа из пункта (а), мы видим, что выражение имеет знак "-" на интервале между нулями числителя и знаменателя.
Ответ: $a \in (-1; 2.5)$.

в) равно нулю
Дробное выражение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
Приравняем числитель к нулю: $2a - 5 = 0 \implies 2a = 5 \implies a = 2.5$.
Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этом значении $a$: $a + 1 = 2.5 + 1 = 3.5 \neq 0$.
Условие выполняется.
Ответ: $a = 2.5$.

г) не существует
Дробное выражение не существует (не определено), когда его знаменатель равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Приравняем знаменатель к нулю: $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
При этом значении $a$ выражение не имеет смысла.
Ответ: $a = -1$.