Номер 10, страница 75, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 35. Линейное уравнение с двумя переменными - номер 10, страница 75.

Условие.

10. Докажите, что если в уравнении $ax+by=38$ коэффициенты $a$ и $b$ являются целыми числами, то пара чисел $(6; 15)$ не может быть решением этого уравнения.

Решение.

Решение 2.

Для доказательства используем метод от противного. Предположим, что пара чисел (6; 15) является решением уравнения $ax+by=38$, и при этом коэффициенты $a$ и $b$ являются целыми числами.

Если пара (6; 15) является решением, то при подстановке $x=6$ и $y=15$ в исходное уравнение мы должны получить верное числовое равенство:
$a \cdot 6 + b \cdot 15 = 38$
$6a + 15b = 38$

Рассмотрим левую часть полученного равенства: $6a + 15b$. Мы можем вынести за скобки общий делитель чисел 6 и 15, который равен 3:
$3(2a + 5b) = 38$

По условию, $a$ и $b$ — целые числа. Это значит, что $2a$ — целое число, $5b$ — целое число, и их сумма $(2a + 5b)$ также является целым числом.

Таким образом, вся левая часть уравнения, $3(2a + 5b)$, представляет собой произведение числа 3 на целое число. Следовательно, левая часть уравнения должна делиться нацело на 3.

Теперь рассмотрим правую часть уравнения — число 38. Проверим, делится ли 38 на 3 без остатка. Сумма цифр числа 38 равна $3+8=11$. Поскольку 11 не делится на 3, то и само число 38 не делится на 3. При делении $38 \div 3$ получается 12 и 2 в остатке.

Мы получили противоречие: левая часть уравнения ($6a + 15b$) должна быть кратна 3, в то время как правая часть (38) на 3 не делится. Равенство между ними при целых $a$ и $b$ невозможно.

Это означает, что наше первоначальное предположение было неверным.
Ответ: Доказано, что пара чисел (6; 15) не может быть решением уравнения $ax+by=38$, если коэффициенты $a$ и $b$ являются целыми числами.