Номер 13, страница 76, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь Крайнева, Миндюк

Часть 2. Глава 6. Системы линейных уравнений. 35. Линейное уравнение с двумя переменными - номер 13, страница 76.

Условие.

13. Если к утроенному двузначному числу прибавить удвоенную сумму его цифр, получится 79. Найдите это число.

Решение.

Решение 2.

Обозначим искомое двузначное число как $10a + b$, где $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц.

По определению двузначного числа, $a$ является целым числом от 1 до 9 ($1 \le a \le 9$), а $b$ является целым числом от 0 до 9 ($0 \le b \le 9$).

Согласно условию задачи, "к утроенному двузначному числу прибавить удвоенную сумму его цифр, получится 79". Запишем это в виде математического уравнения.

Утроенное двузначное число: $3(10a + b)$.

Удвоенная сумма его цифр: $2(a + b)$.

Составим уравнение:

$3(10a + b) + 2(a + b) = 79$

Теперь решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$30a + 3b + 2a + 2b = 79$

Приведем подобные члены:

$(30a + 2a) + (3b + 2b) = 79$

$32a + 5b = 79$

Мы получили линейное диофантово уравнение с двумя переменными. Поскольку $a$ может принимать только целые значения от 1 до 9, мы можем найти решение методом подстановки.

1. Проверим $a=1$:
$32(1) + 5b = 79$
$32 + 5b = 79$
$5b = 79 - 32$
$5b = 47$
$b = 47/5 = 9.4$. Это не целое число, поэтому $a=1$ не является решением.

2. Проверим $a=2$:
$32(2) + 5b = 79$
$64 + 5b = 79$
$5b = 79 - 64$
$5b = 15$
$b = 15/5 = 3$. Это целое число, и оно удовлетворяет условию $0 \le b \le 9$. Таким образом, пара $a=2, b=3$ является решением.

3. Проверим $a=3$:
$32(3) + 5b = 79$
$96 + 5b = 79$
$5b = 79 - 96$
$5b = -17$. Значение $b$ получается отрицательным, что недопустимо для цифры.

При значениях $a > 2$ член $32a$ будет еще больше, и, следовательно, $5b$ будет принимать еще меньшие отрицательные значения. Таким образом, единственное возможное решение - это $a=2$ и $b=3$.

Искомое число - это $10a + b = 10(2) + 3 = 23$.

Сделаем проверку:

Утроенное число 23 равно $3 \times 23 = 69$.
Сумма его цифр равна $2 + 3 = 5$.
Удвоенная сумма цифр равна $2 \times 5 = 10$.
Сумма этих значений: $69 + 10 = 79$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 23