Номер 1, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. Вопросы к параграфу 10 - номер 1, страница 70.

Условие.

Как умножить одночлен на многочлен?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 6.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо воспользоваться распределительным (дистрибутивным) свойством умножения. Правило гласит: нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

В общем виде это правило можно записать формулой:

$A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C$

где $A$ — это одночлен, а $(B + C)$ — многочлен.

Рассмотрим алгоритм на конкретных примерах.

Пример 1

Умножить одночлен $5x^2$ на многочлен $(3x^2 - 2x + 4)$.

Решение:

1. Запишем произведение: $5x^2 \cdot (3x^2 - 2x + 4)$.

2. Умножим одночлен $5x^2$ на каждый член многочлена поочередно:

• На первый член: $5x^2 \cdot (3x^2) = (5 \cdot 3) \cdot (x^2 \cdot x^2) = 15x^{2+2} = 15x^4$.
• На второй член: $5x^2 \cdot (-2x) = (5 \cdot -2) \cdot (x^2 \cdot x^1) = -10x^{2+1} = -10x^3$.
• На третий член: $5x^2 \cdot (4) = (5 \cdot 4) \cdot x^2 = 20x^2$.

3. Сложим полученные результаты, учитывая их знаки:

$15x^4 + (-10x^3) + 20x^2 = 15x^4 - 10x^3 + 20x^2$.

Так как в полученном многочлене нет подобных слагаемых, это окончательный результат.

Ответ: $15x^4 - 10x^3 + 20x^2$.

Пример 2

Выполнить умножение одночлена $-2ab^3$ на многочлен $(4a^2 - 3ab - b^2)$.

Решение:

1. Запишем выражение: $-2ab^3 \cdot (4a^2 - 3ab - b^2)$.

2. Применим распределительное свойство:

$(-2ab^3) \cdot (4a^2) + (-2ab^3) \cdot (-3ab) + (-2ab^3) \cdot (-b^2)$

3. Выполним умножение для каждого слагаемого:

• $(-2ab^3) \cdot (4a^2) = (-2 \cdot 4) \cdot (a \cdot a^2) \cdot b^3 = -8a^3b^3$.
• $(-2ab^3) \cdot (-3ab) = (-2 \cdot -3) \cdot (a \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b) = 6a^2b^4$.
• $(-2ab^3) \cdot (-b^2) = (-2 \cdot -1) \cdot a \cdot (b^3 \cdot b^2) = 2ab^5$.

4. Объединим полученные одночлены:

$-8a^3b^3 + 6a^2b^4 + 2ab^5$.

Ответ: $-8a^3b^3 + 6a^2b^4 + 2ab^5$.