Номер 355, страница 70 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Целые выражения. §10. Умножение одночлена на многочлен - номер 355, страница 70.

Условие.

355. Преобразуйте в многочлен произведение:

1) $3x(2x + 5);$

2) $4x(x^2 - 8x - 2);$

3) $-2a(a^2 + a - 3);$

4) $5b^2(3b^2 - 7b + 10);$

5) $mn(m^2n - n^3);$

6) $2ab(a^3 - 3a^2b + b^2);$

7) $(4y^3 - 6y + 7) \cdot (-1,2y^3);$

8) $0,4x^2y(3xy^2 - 5xy + 13x^2y^3);$

9) $(2,3a^3b - 1,7b^4 - 3,5b) \cdot (-10a^2b);$

10) $-4pk^3(3p^2k - p + 4k - 2);$

11) $\frac{2}{3}mn^2(6m - 1,8n + 9);$

12) $1\frac{1}{7}cd(\frac{7}{8}c^5 - \frac{7}{24}c^2d^7 - \frac{1}{4}d^{10}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $3x(2x + 5)$

Чтобы преобразовать произведение в многочлен, нужно умножить одночлен $3x$ на каждый член многочлена $(2x + 5)$, используя распределительное свойство умножения:

$3x \cdot 2x + 3x \cdot 5 = (3 \cdot 2) \cdot (x \cdot x) + (3 \cdot 5) \cdot x = 6x^2 + 15x$

Ответ: $6x^2 + 15x$

2) $4x(x^2 - 8x - 2)$

Умножим одночлен $4x$ на каждый член многочлена $(x^2 - 8x - 2)$:

$4x \cdot x^2 + 4x \cdot (-8x) + 4x \cdot (-2) = 4x^3 - 32x^2 - 8x$

Ответ: $4x^3 - 32x^2 - 8x$

3) $-2a(a^2 + a - 3)$

Умножим одночлен $-2a$ на каждый член многочлена $(a^2 + a - 3)$, обращая внимание на знаки:

$(-2a) \cdot a^2 + (-2a) \cdot a + (-2a) \cdot (-3) = -2a^3 - 2a^2 + 6a$

Ответ: $-2a^3 - 2a^2 + 6a$

4) $5b^2(3b^2 - 7b + 10)$

Умножим $5b^2$ на каждый член многочлена в скобках:

$5b^2 \cdot 3b^2 + 5b^2 \cdot (-7b) + 5b^2 \cdot 10 = 15b^{2+2} - 35b^{2+1} + 50b^2 = 15b^4 - 35b^3 + 50b^2$

Ответ: $15b^4 - 35b^3 + 50b^2$

5) $mn(m^2n - n^3)$

Умножим одночлен $mn$ на каждый член двучлена $(m^2n - n^3)$:

$mn \cdot m^2n + mn \cdot (-n^3) = m^{1+2}n^{1+1} - mn^{1+3} = m^3n^2 - mn^4$

Ответ: $m^3n^2 - mn^4$

6) $2ab(a^3 - 3a^2b + b^2)$

Умножим $2ab$ на каждый член многочлена $(a^3 - 3a^2b + b^2)$:

$2ab \cdot a^3 + 2ab \cdot (-3a^2b) + 2ab \cdot b^2 = 2a^{1+3}b - 6a^{1+2}b^{1+1} + 2ab^{1+2} = 2a^4b - 6a^3b^2 + 2ab^3$

Ответ: $2a^4b - 6a^3b^2 + 2ab^3$

7) $(4y^3 - 6y + 7) \cdot (-1,2y^3)$

Умножим каждый член многочлена $(4y^3 - 6y + 7)$ на одночлен $(-1,2y^3)$:

$4y^3 \cdot (-1,2y^3) + (-6y) \cdot (-1,2y^3) + 7 \cdot (-1,2y^3) = -4,8y^6 + 7,2y^4 - 8,4y^3$

Ответ: $-4,8y^6 + 7,2y^4 - 8,4y^3$

8) $0,4x^2y(3xy^2 - 5xy + 13x^2y^3)$

Умножим $0,4x^2y$ на каждый член многочлена в скобках:

$0,4x^2y \cdot 3xy^2 + 0,4x^2y \cdot (-5xy) + 0,4x^2y \cdot 13x^2y^3 = 1,2x^3y^3 - 2x^3y^2 + 5,2x^4y^4$

Для стандартного вида многочлена расположим члены в порядке убывания степеней:

$5,2x^4y^4 + 1,2x^3y^3 - 2x^3y^2$

Ответ: $5,2x^4y^4 + 1,2x^3y^3 - 2x^3y^2$

9) $(2,3a^3b - 1,7b^4 - 3,5b) \cdot (-10a^2b)$

Умножим каждый член многочлена на одночлен $(-10a^2b)$:

$2,3a^3b \cdot (-10a^2b) + (-1,7b^4) \cdot (-10a^2b) + (-3,5b) \cdot (-10a^2b) = -23a^5b^2 + 17a^2b^5 + 35a^2b^2$

Ответ: $-23a^5b^2 + 17a^2b^5 + 35a^2b^2$

10) $-4pk^3(3p^2k - p + 4k - 2)$

Умножим одночлен $-4pk^3$ на каждый член многочлена в скобках:

$(-4pk^3) \cdot 3p^2k + (-4pk^3) \cdot (-p) + (-4pk^3) \cdot 4k + (-4pk^3) \cdot (-2) = -12p^3k^4 + 4p^2k^3 - 16pk^4 + 8pk^3$

Ответ: $-12p^3k^4 + 4p^2k^3 - 16pk^4 + 8pk^3$

11) $\frac{2}{3}mn^2(6m - 1,8n + 9)$

Умножим одночлен $\frac{2}{3}mn^2$ на каждый член многочлена. Представим десятичную дробь $1,8$ в виде обыкновенной: $1,8 = \frac{18}{10}$.

$\frac{2}{3}mn^2 \cdot 6m + \frac{2}{3}mn^2 \cdot (-1,8n) + \frac{2}{3}mn^2 \cdot 9 =$

$= (\frac{2}{3} \cdot 6)m^2n^2 - (\frac{2}{3} \cdot \frac{18}{10})mn^3 + (\frac{2}{3} \cdot 9)mn^2 =$

$= \frac{12}{3}m^2n^2 - \frac{36}{30}mn^3 + \frac{18}{3}mn^2 = 4m^2n^2 - 1,2mn^3 + 6mn^2$

Ответ: $4m^2n^2 - 1,2mn^3 + 6mn^2$

12) $1\frac{1}{7}cd(\frac{7}{8}c^5 - \frac{7}{24}c^2d^7 - \frac{1}{4}d^{10})$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{7} = \frac{8}{7}$. Затем умножим одночлен $\frac{8}{7}cd$ на каждый член многочлена:

$\frac{8}{7}cd \cdot \frac{7}{8}c^5 + \frac{8}{7}cd \cdot (-\frac{7}{24}c^2d^7) + \frac{8}{7}cd \cdot (-\frac{1}{4}d^{10}) =$

$= (\frac{8}{7} \cdot \frac{7}{8})c^{1+5}d - (\frac{8}{7} \cdot \frac{7}{24})c^{1+2}d^{1+7} - (\frac{8}{7} \cdot \frac{1}{4})cd^{1+10} =$

$= 1 \cdot c^6d - \frac{8}{24}c^3d^8 - \frac{8}{28}cd^{11} = c^6d - \frac{1}{3}c^3d^8 - \frac{2}{7}cd^{11}$

Ответ: $c^6d - \frac{1}{3}c^3d^8 - \frac{2}{7}cd^{11}$