Номер 1040, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1040, страница 206.

Условие.

1040. Найдите значение выражения:

1) $m(m - 3)(m + 3) - (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$ при $m = -\frac{2}{3}$;

2) $(6m - n)(6m + n) - (12m - 5n)(3m + n)$ при $m = -\frac{8}{9}, n = \frac{3}{4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Найдем значение выражения $m(m - 3)(m + 3) - (m - 2)(m^2 + 2m + 4)$ при $m = -\frac{2}{3}$.

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и разность кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$.

Применим формулу разности квадратов к произведению $(m - 3)(m + 3)$:
$m(m - 3)(m + 3) = m(m^2 - 3^2) = m(m^2 - 9) = m^3 - 9m$.

Применим формулу разности кубов к произведению $(m - 2)(m^2 + 2m + 4)$:
$(m - 2)(m^2 + 2m + 4) = m^3 - 2^3 = m^3 - 8$.

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(m^3 - 9m) - (m^3 - 8) = m^3 - 9m - m^3 + 8 = -9m + 8$.

Теперь подставим значение $m = -\frac{2}{3}$ в упрощенное выражение:

$-9m + 8 = -9 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) + 8 = \frac{9 \cdot 2}{3} + 8 = 3 \cdot 2 + 8 = 6 + 8 = 14$.

Ответ: $14$.

2) Найдем значение выражения $(6m - n)(6m + n) - (12m - 5n)(3m + n)$ при $m = -\frac{8}{9}$ и $n = \frac{3}{4}$.

Сначала упростим выражение. Используем формулу разности квадратов для первой части и раскроем скобки (перемножим многочлены) во второй.

Первая часть выражения (разность квадратов):
$(6m - n)(6m + n) = (6m)^2 - n^2 = 36m^2 - n^2$.

Вторая часть выражения (перемножение многочленов):
$(12m - 5n)(3m + n) = 12m \cdot 3m + 12m \cdot n - 5n \cdot 3m - 5n \cdot n = 36m^2 + 12mn - 15mn - 5n^2 = 36m^2 - 3mn - 5n^2$.

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(36m^2 - n^2) - (36m^2 - 3mn - 5n^2) = 36m^2 - n^2 - 36m^2 + 3mn + 5n^2 = 4n^2 + 3mn$.

Теперь подставим значения $m = -\frac{8}{9}$ и $n = \frac{3}{4}$ в упрощенное выражение $4n^2 + 3mn$:

$4 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 + 3 \cdot \left(-\frac{8}{9}\right) \cdot \frac{3}{4} = 4 \cdot \frac{9}{16} - \frac{3 \cdot 8 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{36}{16} - \frac{72}{36} = \frac{9}{4} - 2$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.