Номер 1043, страница 206 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §27. Решение систем линейных уравнений методом подстановки - номер 1043, страница 206.

Условие.

1043. Докажите, что значение выражения $2^{4n} - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы доказать, что значение выражения $2^{4n} - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$, мы можем преобразовать данное выражение.

Способ 1: Анализ последней цифры

Сначала преобразуем выражение, используя свойство степеней $(a^m)^k = a^{mk}$:
$2^{4n} - 1 = (2^4)^n - 1$

Вычислим значение $2^4$:
$2^4 = 16$

Таким образом, наше выражение принимает вид:
$16^n - 1$

Рассмотрим, на какую цифру оканчивается число $16^n$ при любом натуральном $n$.
$16^1 = 16$
$16^2 = 256$
$16^3 = 4096$
Любая натуральная степень числа, оканчивающегося на 6, также оканчивается на 6. Значит, число $16^n$ всегда оканчивается на цифру 6.

Следовательно, разность $16^n - 1$ — это число, которое оканчивается на $6 - 1 = 5$.

Любое целое число, последняя цифра которого 5, делится нацело на 5. Таким образом, $2^{4n} - 1$ делится на 5.

Способ 2: Алгебраическое преобразование

Как мы уже показали, исходное выражение равносильно $16^n - 1$.

Воспользуемся известной формулой разности n-ых степеней: $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$.

Применим эту формулу для $a = 16$ и $b = 1$:
$16^n - 1^n = (16 - 1)(16^{n-1} + 16^{n-2} \cdot 1 + \dots + 1^{n-1})$
$16^n - 1 = 15 \cdot (16^{n-1} + 16^{n-2} + \dots + 1)$

Так как $n$ — натуральное число, то сумма в скобках является целым числом. Обозначим ее как $K$.
Тогда выражение можно записать как $15 \cdot K$.

Поскольку один из множителей равен 15, а 15 делится нацело на 5, то и все произведение $15 \cdot K$ делится нацело на 5.

Оба способа доказывают, что значение выражения $2^{4n} - 1$ делится нацело на 5 при любом натуральном значении $n$.

Ответ: Доказано.