Номер 1049, страница 209 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1049, страница 209.

Условие.

1049. Решите систему уравнений методом сложения:

1) $\begin{cases} x - 3y = 5, \\ 4x + 9y = 41; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 10x + 2y = 12, \\ -5x + 4y = -6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - 2y = 1, \\ 12x + 7y = -26; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 3x + 8y = 13, \\ 2x - 3y = 17; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 3x - 4y = 16, \\ 5x + 6y = 14; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 2x + 3y = 6, \\ 3x + 5y = 8; \end{cases}$

7) $\begin{cases} 5u - 7v = 24, \\ 7u + 6v = 2; \end{cases}$

8) $\begin{cases} 0,2x + 1,5y = 10, \\ 0,4x - 0,3y = 0,2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 3y = 5, \\ 4x + 9y = 41; \end{cases}$

Чтобы использовать метод сложения, умножим первое уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами (-9 и 9).

$\begin{cases} 3(x - 3y) = 3 \cdot 5, \\ 4x + 9y = 41; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x - 9y = 15, \\ 4x + 9y = 41; \end{cases}$

Теперь сложим два уравнения почленно:

$(3x - 9y) + (4x + 9y) = 15 + 41$

$7x = 56$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{56}{7}$

$x = 8$

Подставим найденное значение $x = 8$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$8 - 3y = 5$

$-3y = 5 - 8$

$-3y = -3$

$y = 1$

Ответ: $(8; 1)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 10x + 2y = 12, \\ -5x + 4y = -6; \end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными (10 и -10).

$\begin{cases} 10x + 2y = 12, \\ 2(-5x + 4y) = 2 \cdot (-6); \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10x + 2y = 12, \\ -10x + 8y = -12; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(10x + 2y) + (-10x + 8y) = 12 + (-12)$

$10y = 0$

$y = 0$

Подставим $y = 0$ в первое уравнение исходной системы:

$10x + 2 \cdot 0 = 12$

$10x = 12$

$x = \frac{12}{10}$

$x = 1,2$

Ответ: $(1,2; 0)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 1, \\ 12x + 7y = -26; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на -4, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными (-12 и 12).

$\begin{cases} -4(3x - 2y) = -4 \cdot 1, \\ 12x + 7y = -26; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -12x + 8y = -4, \\ 12x + 7y = -26; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-12x + 8y) + (12x + 7y) = -4 + (-26)$

$15y = -30$

$y = \frac{-30}{15}$

$y = -2$

Подставим $y = -2$ в первое уравнение исходной системы:

$3x - 2(-2) = 1$

$3x + 4 = 1$

$3x = 1 - 4$

$3x = -3$

$x = -1$

Ответ: $(-1; -2)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x + 8y = 13, \\ 2x - 3y = 17; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными (6 и -6).

$\begin{cases} 2(3x + 8y) = 2 \cdot 13, \\ -3(2x - 3y) = -3 \cdot 17; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x + 16y = 26, \\ -6x + 9y = -51; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(6x + 16y) + (-6x + 9y) = 26 - 51$

$25y = -25$

$y = -1$

Подставим $y = -1$ во второе уравнение исходной системы:

$2x - 3(-1) = 17$

$2x + 3 = 17$

$2x = 14$

$x = 7$

Ответ: $(7; -1)$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3x - 4y = 16, \\ 5x + 6y = 14; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными (-12 и 12).

$\begin{cases} 3(3x - 4y) = 3 \cdot 16, \\ 2(5x + 6y) = 2 \cdot 14; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9x - 12y = 48, \\ 10x + 12y = 28; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(9x - 12y) + (10x + 12y) = 48 + 28$

$19x = 76$

$x = \frac{76}{19}$

$x = 4$

Подставим $x = 4$ во второе уравнение исходной системы:

$5(4) + 6y = 14$

$20 + 6y = 14$

$6y = 14 - 20$

$6y = -6$

$y = -1$

Ответ: $(4; -1)$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3y = 6, \\ 3x + 5y = 8; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на -3, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными (-6 и 6).

$\begin{cases} -3(2x + 3y) = -3 \cdot 6, \\ 2(3x + 5y) = 2 \cdot 8; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -6x - 9y = -18, \\ 6x + 10y = 16; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-6x - 9y) + (6x + 10y) = -18 + 16$

$y = -2$

Подставим $y = -2$ в первое уравнение исходной системы:

$2x + 3(-2) = 6$

$2x - 6 = 6$

$2x = 12$

$x = 6$

Ответ: $(6; -2)$.

7)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5u - 7v = 24, \\ 7u + 6v = 2; \end{cases}$

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 7, чтобы коэффициенты при $v$ стали противоположными (-42 и 42).

$\begin{cases} 6(5u - 7v) = 6 \cdot 24, \\ 7(7u + 6v) = 7 \cdot 2; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 30u - 42v = 144, \\ 49u + 42v = 14; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(30u - 42v) + (49u + 42v) = 144 + 14$

$79u = 158$

$u = \frac{158}{79}$

$u = 2$

Подставим $u = 2$ во второе уравнение исходной системы:

$7(2) + 6v = 2$

$14 + 6v = 2$

$6v = 2 - 14$

$6v = -12$

$v = -2$

Ответ: $(2; -2)$.

8)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 0,2x + 1,5y = 10, \\ 0,4x - 0,3y = 0,2; \end{cases}$

Для удобства избавимся от десятичных дробей, умножив оба уравнения на 10:

$\begin{cases} 10(0,2x + 1,5y) = 10 \cdot 10, \\ 10(0,4x - 0,3y) = 10 \cdot 0,2; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x + 15y = 100, \\ 4x - 3y = 2; \end{cases}$

Теперь умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными (15 и -15).

$\begin{cases} 2x + 15y = 100, \\ 5(4x - 3y) = 5 \cdot 2; \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x + 15y = 100, \\ 20x - 15y = 10; \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(2x + 15y) + (20x - 15y) = 100 + 10$

$22x = 110$

$x = \frac{110}{22}$

$x = 5$

Подставим $x = 5$ во второе уравнение преобразованной системы ($4x - 3y = 2$):

$4(5) - 3y = 2$

$20 - 3y = 2$

$-3y = 2 - 20$

$-3y = -18$

$y = 6$

Ответ: $(5; 6)$.