Номер 1056, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1056, страница 211.

Условие.

1056. Найдите, не выполняя построения, координаты точки пересечения прямых:

1) $2x - 3y = 8$ и $7x - 5y = -5$;

2) $9x + y = 3$ и $8x + 3y = -10$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Координаты точки пересечения двух прямых являются решением системы уравнений, задающих эти прямые. Составим и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 2x - 3y = 8, \\ 7x - 5y = -5. \end{cases} $$

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на -3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 5(2x - 3y) = 5 \cdot 8, \\ -3(7x - 5y) = -3 \cdot (-5); \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 10x - 15y = 40, \\ -21x + 15y = 15. \end{cases} $$

Теперь сложим два уравнения системы почленно:

$(10x - 15y) + (-21x + 15y) = 40 + 15$

$10x - 21x = 55$

$-11x = 55$

$x = 55 / (-11)$

$x = -5$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$2(-5) - 3y = 8$

$-10 - 3y = 8$

$-3y = 8 + 10$

$-3y = 18$

$y = 18 / (-3)$

$y = -6$

Координаты точки пересечения прямых — $(-5; -6)$.

Ответ: $(-5; -6)$.

2)

Аналогично первому пункту, составим и решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 9x + y = 3, \\ 8x + 3y = -10. \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3 - 9x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$8x + 3(3 - 9x) = -10$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$8x + 9 - 27x = -10$

$-19x = -10 - 9$

$-19x = -19$

$x = 1$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в выражение для $y$:

$y = 3 - 9 \cdot 1$

$y = 3 - 9$

$y = -6$

Координаты точки пересечения прямых — $(1; -6)$.

Ответ: $(1; -6)$.