Номер 1061, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1061, страница 211.

Условие.

1061. Имеет ли решение система уравнений:

1) $\begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x - 4y = 24, \\ x - 2y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1, \\ 5x + 9y = 5? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим систему из трех уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ 3x - 4y = 24, \\ x - 2y = 9. \end{cases} $
Чтобы определить, имеет ли система решение, нужно найти решение подсистемы из любых двух уравнений и проверить, удовлетворяет ли оно третьему уравнению.

Возьмем первое и третье уравнения, так как они выглядят проще для решения:
$ \begin{cases} 2x + y = 5, \\ x - 2y = 9. \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - 2x$.
Подставим это выражение в третье уравнение:
$x - 2(5 - 2x) = 9$
$x - 10 + 4x = 9$
$5x = 19$
$x = \frac{19}{5}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$:
$y = 5 - 2 \cdot (\frac{19}{5}) = \frac{25}{5} - \frac{38}{5} = -\frac{13}{5}$

Мы получили возможное решение $(x, y) = (\frac{19}{5}, -\frac{13}{5})$.
Теперь проверим, удовлетворяет ли эта пара чисел второму уравнению системы: $3x - 4y = 24$.
$3 \cdot \frac{19}{5} - 4 \cdot (-\frac{13}{5}) = \frac{57}{5} + \frac{52}{5} = \frac{109}{5} = 21.8$
Поскольку $21.8 \neq 24$, найденное решение не удовлетворяет второму уравнению. Это означает, что не существует такой пары чисел $(x, y)$, которая удовлетворяла бы всем трем уравнениям одновременно.

Ответ: система не имеет решений.

2)

Рассмотрим систему из трех уравнений с двумя неизвестными:
$ \begin{cases} 2x + 3y = -1, \\ 3x + 5y = 1, \\ 5x + 9y = 5. \end{cases} $
Аналогично предыдущему пункту, решим подсистему из первых двух уравнений.

Используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$ \begin{cases} 3 \cdot (2x + 3y) = 3 \cdot (-1) \\ -2 \cdot (3x + 5y) = -2 \cdot 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6x + 9y = -3, \\ -6x - 10y = -2. \end{cases} $
Теперь сложим эти два уравнения:
$(6x + 9y) + (-6x - 10y) = -3 + (-2)$
$-y = -5$
$y = 5$

Подставим найденное значение $y=5$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$2x + 3 \cdot 5 = -1$
$2x + 15 = -1$
$2x = -1 - 15$
$2x = -16$
$x = -8$

Мы получили возможное решение $(x, y) = (-8, 5)$.
Проверим, удовлетворяет ли эта пара чисел третьему уравнению системы: $5x + 9y = 5$.
$5 \cdot (-8) + 9 \cdot 5 = -40 + 45 = 5$
Поскольку $5 = 5$, равенство верное. Следовательно, найденное решение удовлетворяет всем трем уравнениям.

Ответ: да, система имеет решение $(-8, 5)$.