Номер 1068, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1068, страница 213.

Условие.

1068. Решите уравнение:

1) $(x - 2y)^2 + (y - 5)^2 = 0;$

2) $(4x + 2y - 5)^2 + |4x - 6y + 7| = 0;$

3) $50x^2 + 4y^2 - 28xy + 16x + 64 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x - 2y)^2 + (y - 5)^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как квадрат любого действительного числа больше или равен нулю. То есть, $(x - 2y)^2 \ge 0$ и $(y - 5)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, мы можем составить систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 0 \\ y - 5 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения находим $y$:

$y = 5$

Подставим значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x - 2 \cdot 5 = 0$

$x - 10 = 0$

$x = 10$

Таким образом, решение уравнения — это пара чисел $(10; 5)$.

Ответ: $(10; 5)$

2) $(4x + 2y - 5)^2 + |4x - 6y + 7| = 0$

Это уравнение также является суммой двух неотрицательных слагаемых: квадрата числа $(4x + 2y - 5)^2$ и модуля числа $|4x - 6y + 7|$. Сумма этих слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} 4x + 2y - 5 = 0 \\ 4x - 6y + 7 = 0 \end{cases} $

Решим эту систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(4x + 2y - 5) - (4x - 6y + 7) = 0 - 0$

$4x + 2y - 5 - 4x + 6y - 7 = 0$

$8y - 12 = 0$

$8y = 12$

$y = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:

$4x + 2 \cdot (\frac{3}{2}) - 5 = 0$

$4x + 3 - 5 = 0$

$4x - 2 = 0$

$4x = 2$

$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Решением является пара чисел $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{3}{2})$

3) $50x^2 + 4y^2 - 28xy + 16x + 64 = 0$

Преобразуем левую часть уравнения, выделив полные квадраты. Для этого сгруппируем слагаемые. Представим $50x^2$ как $49x^2 + x^2$.

$(49x^2 - 28xy + 4y^2) + (x^2 + 16x + 64) = 0$

Теперь заметим, что выражения в скобках являются полными квадратами:

$49x^2 - 28xy + 4y^2 = (7x)^2 - 2 \cdot (7x) \cdot (2y) + (2y)^2 = (7x - 2y)^2$

$x^2 + 16x + 64 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = (x + 8)^2$

Таким образом, исходное уравнение можно переписать в виде:

$(7x - 2y)^2 + (x + 8)^2 = 0$

Как и в предыдущих случаях, сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из оснований квадратов равно нулю. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} 7x - 2y = 0 \\ x + 8 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения находим $x$:

$x = -8$

Подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти $y$:

$7 \cdot (-8) - 2y = 0$

$-56 - 2y = 0$

$-2y = 56$

$y = -28$

Решением уравнения является пара чисел $(-8; -28)$.

Ответ: $(-8; -28)$