Номер 1067, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1067, страница 213.

Условие.

1067. Решите уравнение:

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0;$

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0;$

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0;$

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0;$

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) $(x + y)^2 + (x - 3)^2 = 0$

Сумма квадратов двух выражений равна нулю только в том случае, если каждое из этих выражений равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x + y = 0 \\ x - 3 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения системы находим $x$:
$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:
$3 + y = 0 \Rightarrow y = -3$.

Ответ: $(3; -3)$.

2) $(x + 2y - 3)^2 + x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$

Заметим, что выражение $x^2 - 4xy + 4y^2$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (2y) + (2y)^2 = (x - 2y)^2$.

Перепишем исходное уравнение в виде:

$(x + 2y - 3)^2 + (x - 2y)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} x + 2y - 3 = 0 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$:
$x = 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(2y) + 2y - 3 = 0$
$4y - 3 = 0$
$4y = 3$
$y = \frac{3}{4}$.

Теперь найдем $x$:
$x = 2y = 2 \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $(\frac{3}{2}; \frac{3}{4})$.

3) $|x - 3y - 6| + (9x + 6y - 32)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных слагаемых (модуля и квадрата) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равно нулю. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} x - 3y - 6 = 0 \\ 9x + 6y - 32 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:
$x = 3y + 6$.

Подставим это выражение во второе уравнение:
$9(3y + 6) + 6y - 32 = 0$
$27y + 54 + 6y - 32 = 0$
$33y + 22 = 0$
$33y = -22$
$y = -\frac{22}{33} = -\frac{2}{3}$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:
$x = 3(-\frac{2}{3}) + 6 = -2 + 6 = 4$.

Ответ: $(4; -\frac{2}{3})$.

4) $x^2 + y^2 + 10x - 12y + 61 = 0$

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты:

$(x^2 + 10x) + (y^2 - 12y) + 61 = 0$

Для выделения полного квадрата из $x^2 + 10x$ добавим и вычтем $(\frac{10}{2})^2 = 25$:
$(x^2 + 10x + 25) - 25 = (x + 5)^2 - 25$.

Для выделения полного квадрата из $y^2 - 12y$ добавим и вычтем $(\frac{-12}{2})^2 = 36$:
$(y^2 - 12y + 36) - 36 = (y - 6)^2 - 36$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x + 5)^2 - 25 + (y - 6)^2 - 36 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 - 61 + 61 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 6)^2 = 0$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 5 = 0 \\ y - 6 = 0 \end{cases}$

Откуда находим:
$x = -5$
$y = 6$.

Ответ: $(-5; 6)$.

5) $25x^2 + 10y^2 - 30xy + 8y + 16 = 0$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты. Заметим, что $25x^2 = (5x)^2$ и $-30xy = -2 \cdot (5x) \cdot (3y)$. Это наводит на мысль о выделении квадрата $(5x - 3y)^2$.

$(5x - 3y)^2 = 25x^2 - 30xy + 9y^2$.

Представим $10y^2$ в исходном уравнении как $9y^2 + y^2$:

$(25x^2 - 30xy + 9y^2) + y^2 + 8y + 16 = 0$

Первые три слагаемых образуют квадрат разности, а оставшиеся слагаемые также образуют полный квадрат:

$(5x - 3y)^2 + (y^2 + 8y + 16) = 0$

$(5x - 3y)^2 + (y + 4)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, следовательно, каждое слагаемое равно нулю:

$\begin{cases} 5x - 3y = 0 \\ y + 4 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $y$:
$y = -4$.

Подставим значение $y$ в первое уравнение:
$5x - 3(-4) = 0$
$5x + 12 = 0$
$5x = -12$
$x = -\frac{12}{5}$.

Ответ: $(-\frac{12}{5}; -4)$.