Номер 1065, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1065, страница 212.

Условие.

1065. При каком значении $k$ прямая $y = kx + 2$ проходит через точку пересечения прямых $3x + 5y = 5$ и $7x - 4y = 43$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для того чтобы прямая $y = kx + 2$ проходила через точку пересечения двух других прямых, необходимо сначала найти координаты этой точки. Точка пересечения является решением системы уравнений, составленной из уравнений этих прямых.

Составим и решим систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 5 \\ 7x - 4y = 43 \end{cases} $

Для решения системы используем метод алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 4(3x + 5y) = 4 \cdot 5 \\ 5(7x - 4y) = 5 \cdot 43 \end{cases} $

$ \begin{cases} 12x + 20y = 20 \\ 35x - 20y = 215 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений системы:

$(12x + 35x) + (20y - 20y) = 20 + 215$

$47x = 235$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{235}{47}$

$x = 5$

Теперь подставим найденное значение $x=5$ в любое из исходных уравнений, например, в первое, чтобы найти $y$:

$3(5) + 5y = 5$

$15 + 5y = 5$

$5y = 5 - 15$

$5y = -10$

$y = \frac{-10}{5}$

$y = -2$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(5; -2)$.

По условию, прямая $y = kx + 2$ должна проходить через эту точку. Это значит, что координаты точки $(5; -2)$ должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставим значения $x = 5$ и $y = -2$ в уравнение $y = kx + 2$:

$-2 = k \cdot 5 + 2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$:

$5k = -2 - 2$

$5k = -4$

$k = -\frac{4}{5}$

$k = -0.8$

Ответ: $k = -0.8$