Номер 1062, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1062, страница 211.

Условие.

1062. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 6x + 5y = 10, \\ 8x - 5y = 32, \\ 3x + 10y = -7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y = 1, \\ 2x + y = 7, \\ 4x + y = 14. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} 6x + 5y = 10, \\ 8x - 5y = 32, \\ 3x + 10y = -7. \end{cases} $
Для решения системы, состоящей из трех уравнений с двумя переменными, сначала найдем решение для любой пары уравнений, а затем проверим, удовлетворяет ли это решение третьему уравнению.

Возьмем первые два уравнения. Коэффициенты при переменной $y$ являются противоположными числами ($5$ и $-5$), поэтому удобно применить метод сложения:
$(6x + 5y) + (8x - 5y) = 10 + 32$
$14x = 42$
$x = \frac{42}{14}$
$x = 3$

Подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение ($6x + 5y = 10$) для нахождения $y$:
$6 \cdot 3 + 5y = 10$
$18 + 5y = 10$
$5y = 10 - 18$
$5y = -8$
$y = -\frac{8}{5} = -1.6$

Таким образом, решением системы из первых двух уравнений является пара $(3; -1.6)$. Проверим, является ли эта пара решением третьего уравнения $3x + 10y = -7$:
$3 \cdot 3 + 10 \cdot (-1.6) = 9 - 16 = -7$
$-7 = -7$
Равенство верное. Следовательно, пара чисел $(3; -1.6)$ является решением всей системы.

Ответ: $(3; -1.6)$

2)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x - 2y = 1, \\ 2x + y = 7, \\ 4x + y = 14. \end{cases} $
Действуем по аналогии с предыдущим пунктом. Решим систему из второго и третьего уравнений. Коэффициенты при переменной $y$ равны, поэтому применим метод вычитания.

Вычтем второе уравнение из третьего:
$(4x + y) - (2x + y) = 14 - 7$
$2x = 7$
$x = \frac{7}{2} = 3.5$

Подставим найденное значение $x=3.5$ во второе уравнение ($2x + y = 7$), чтобы найти $y$:
$2 \cdot 3.5 + y = 7$
$7 + y = 7$
$y = 0$

Решением системы из второго и третьего уравнений является пара $(3.5; 0)$. Проверим, удовлетворяет ли эта пара первому уравнению $x - 2y = 1$:
$3.5 - 2 \cdot 0 = 3.5$
Получаем $3.5 = 1$, что является неверным равенством.
Поскольку найденное решение не удовлетворяет всем уравнениям системы, система является несовместной и не имеет решений.

Ответ: решений нет.