Номер 1069, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1069, страница 213.

Условие.

1069. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15, \\ \frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{5}{2x-3y} + \frac{10}{3x-2y} = 3, \\ \frac{20}{3x-2y} - \frac{15}{2x-3y} = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{5}{y} = 15, \\ \frac{3}{x} + \frac{8}{y} = 23; \end{cases} $$ Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. При такой замене исходная система уравнений преобразуется в систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} 2a + 5b = 15, \\ 3a + 8b = 23; \end{cases} $$ Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -2, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 6a + 15b = 45, \\ -6a - 16b = -46; \end{cases} $$ Теперь сложим эти два уравнения:
$(6a + 15b) + (-6a - 16b) = 45 + (-46)$
$-b = -1$
$b = 1$
Подставим найденное значение $b=1$ в первое уравнение системы ($2a + 5b = 15$):
$2a + 5(1) = 15$
$2a = 15 - 5$
$2a = 10$
$a = 5$
Теперь, зная значения $a$ и $b$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:
Поскольку $a = \frac{1}{x}$, то $5 = \frac{1}{x}$, откуда $x = \frac{1}{5}$.
Поскольку $b = \frac{1}{y}$, то $1 = \frac{1}{y}$, откуда $y = 1$.
Ответ: $(\frac{1}{5}; 1)$

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{5}{2x - 3y} + \frac{10}{3x - 2y} = 3, \\ \frac{20}{3x - 2y} - \frac{15}{2x - 3y} = 1. \end{cases} $$ Для удобства решения введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{2x - 3y}$ и $v = \frac{1}{3x - 2y}$. Запишем систему в новых переменных, поменяв местами слагаемые во втором уравнении для единообразия: $$ \begin{cases} 5u + 10v = 3, \\ -15u + 20v = 1. \end{cases} $$ Решим эту систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на 3, чтобы использовать метод сложения: $$ \begin{cases} 15u + 30v = 9, \\ -15u + 20v = 1. \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы:
$(15u + 30v) + (-15u + 20v) = 9 + 1$
$50v = 10$
$v = \frac{10}{50} = \frac{1}{5}$
Теперь подставим значение $v = \frac{1}{5}$ в первое уравнение ($5u + 10v = 3$):
$5u + 10(\frac{1}{5}) = 3$
$5u + 2 = 3$
$5u = 1$
$u = \frac{1}{5}$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$u = \frac{1}{2x - 3y} \implies \frac{1}{5} = \frac{1}{2x - 3y} \implies 2x - 3y = 5$
$v = \frac{1}{3x - 2y} \implies \frac{1}{5} = \frac{1}{3x - 2y} \implies 3x - 2y = 5$
Мы получили новую систему линейных уравнений относительно $x$ и $y$: $$ \begin{cases} 2x - 3y = 5, \\ 3x - 2y = 5. \end{cases} $$ Умножим первое уравнение на -3, а второе на 2: $$ \begin{cases} -6x + 9y = -15, \\ 6x - 4y = 10. \end{cases} $$ Сложим уравнения:
$(-6x + 9y) + (6x - 4y) = -15 + 10$
$5y = -5$
$y = -1$
Подставим найденное значение $y = -1$ в уравнение $2x - 3y = 5$:
$2x - 3(-1) = 5$
$2x + 3 = 5$
$2x = 2$
$x = 1$
Ответ: $(1; -1)$