Номер 1066, страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1066, страница 212.

Условие.

1066. При каком значении $a$ имеет решение система уравнений:

$\begin{cases}8x - 7y = 21, \\5x - 3y = 20, \\ax + 2y = 24?\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Данная система состоит из трех линейных уравнений с двумя неизвестными. Чтобы такая система имела решение, необходимо, чтобы точка пересечения прямых, заданных любыми двумя уравнениями, принадлежала и третьей прямой. В нашем случае, первые два уравнения не содержат параметр a, поэтому мы можем найти их общую точку (решение) и затем подставить ее в третье уравнение, чтобы найти значение a.

1. Решим систему из первых двух уравнений:

$ \begin{cases} 8x - 7y = 21, \\ 5x - 3y = 20. \end{cases} $

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -7, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами:

$ \begin{cases} 3 \cdot (8x - 7y) = 3 \cdot 21, \\ -7 \cdot (5x - 3y) = -7 \cdot 20. \end{cases} $

$ \begin{cases} 24x - 21y = 63, \\ -35x + 21y = -140. \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения почленно:

$ (24x - 21y) + (-35x + 21y) = 63 - 140 $

$ 24x - 35x = -77 $

$ -11x = -77 $

$ x = \frac{-77}{-11} = 7 $

Подставим найденное значение $x=7$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$ 5(7) - 3y = 20 $

$ 35 - 3y = 20 $

$ -3y = 20 - 35 $

$ -3y = -15 $

$ y = \frac{-15}{-3} = 5 $

Таким образом, решение системы из первых двух уравнений — это пара чисел $(7; 5)$.

2. Подставим найденные значения $x=7$ и $y=5$ в третье уравнение системы, чтобы найти соответствующее значение a:

$ ax + 2y = 24 $

$ a(7) + 2(5) = 24 $

$ 7a + 10 = 24 $

$ 7a = 24 - 10 $

$ 7a = 14 $

$ a = \frac{14}{7} = 2 $

При значении $a=2$ все три уравнения имеют общее решение $(7; 5)$, следовательно, система имеет решение.

Ответ: $a = 2$.