Номер 1063, страница 211 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1063, страница 211.

Условие.

1063. Запишите систему линейных уравнений с двумя переменными, графики которых изображены на рисунке 62.

Рис. 62

а

$ \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases} $

б

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x + 2y = 0 \end{cases} $

Рис. 62 (окончание)

в

$ \begin{cases} x + y = 4 \\ x - 3y = -3 \end{cases} $

г

$ \begin{cases} x + 2y = 6 \\ 2x + y = 4 \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

а)

Чтобы составить систему уравнений, необходимо найти уравнение для каждой прямой, изображенной на графике. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $y$.

Красная прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, 2)$ и $(2, 0)$.
Из точки $(0, 2)$ следует, что $b = 2$.
Угловой коэффициент $k$ вычислим по двум точкам: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 2}{2 - 0} = \frac{-2}{2} = -1$.
Следовательно, уравнение красной прямой: $y = -x + 2$, или $x + y = 2$.

Синяя прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, -1)$ и $(1, 0)$.
Из точки $(0, -1)$ следует, что $b = -1$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{0 - (-1)}{1 - 0} = \frac{1}{1} = 1$.
Следовательно, уравнение синей прямой: $y = x - 1$, или $x - y = 1$.

Запишем полученные уравнения в систему: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Ответ: $$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

б)

Красная прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, 2)$ и $(4, 0)$.
Из точки $(0, 2)$ следует, что $b = 2$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{0 - 2}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Уравнение прямой: $y = -\frac{1}{2}x + 2$. Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $2y = -x + 4$, или $x + 2y = 4$.

Синяя прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, 0)$ и $(2, -1)$.
Из точки $(0, 0)$ следует, что $b = 0$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{-1 - 0}{2 - 0} = -\frac{1}{2}$.
Уравнение прямой: $y = -\frac{1}{2}x$. Умножим обе части на 2: $2y = -x$, или $x + 2y = 0$.

Прямые параллельны, так как их угловые коэффициенты равны ($-1/2$), а точки пересечения с осью $y$ различны. Система не имеет решений.

Запишем полученные уравнения в систему: $$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 0 \end{cases} $$

Ответ: $$ \begin{cases} x + 2y = 4 \\ x + 2y = 0 \end{cases} $$

в)

Красная прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, 3)$ и $(1, 0)$.
Из точки $(0, 3)$ следует, что $b = 3$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{0 - 3}{1 - 0} = -3$.
Уравнение прямой: $y = -3x + 3$, или $3x + y = 3$.

Синяя прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, 1)$ и $(2, 2)$.
Из точки $(0, 1)$ следует, что $b = 1$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{2 - 1}{2 - 0} = \frac{1}{2}$.
Уравнение прямой: $y = \frac{1}{2}x + 1$. Умножим обе части на 2: $2y = x + 2$, или $x - 2y = -2$.

Запишем полученные уравнения в систему: $$ \begin{cases} 3x + y = 3 \\ x - 2y = -2 \end{cases} $$

Ответ: $$ \begin{cases} 3x + y = 3 \\ x - 2y = -2 \end{cases} $$

г)

Красная прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, 3)$ и $(3, 2)$.
Из точки $(0, 3)$ следует, что $b = 3$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{2 - 3}{3 - 0} = -\frac{1}{3}$.
Уравнение прямой: $y = -\frac{1}{3}x + 3$. Умножим обе части на 3: $3y = -x + 9$, или $x + 3y = 9$.

Синяя прямая:
Прямая проходит через точки с координатами $(0, 2)$ и $(-1, -1)$.
Из точки $(0, 2)$ следует, что $b = 2$.
Угловой коэффициент: $k = \frac{-1 - 2}{-1 - 0} = \frac{-3}{-1} = 3$.
Уравнение прямой: $y = 3x + 2$, или $3x - y = -2$.

Запишем полученные уравнения в систему: $$ \begin{cases} x + 3y = 9 \\ 3x - y = -2 \end{cases} $$

Ответ: $$ \begin{cases} x + 3y = 9 \\ 3x - y = -2 \end{cases} $$