Номер 1070, страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1070, страница 213.

Условие.

1070. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{7}{y} = 6, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 46; \end{cases}$

2) $\begin{cases} \frac{9}{x+4y} - \frac{6}{5x-y} = -2, \\ \frac{3}{x+4y} + \frac{18}{5x-y} = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{7}{y} = 6, \\ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 46. \end{cases} $$ Для решения этой системы введем новые переменные. Пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Тогда система примет вид линейных уравнений: $$ \begin{cases} a - 7b = 6, \\ 2a + 3b = 46. \end{cases} $$ Решим полученную систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы исключить переменную $a$: $$ \begin{cases} -2a + 14b = -12, \\ 2a + 3b = 46. \end{cases} $$ Сложим два уравнения системы:
$(-2a + 14b) + (2a + 3b) = -12 + 46$
$17b = 34$
$b = \frac{34}{17} = 2$
Теперь подставим найденное значение $b$ в первое уравнение ($a - 7b = 6$):
$a - 7(2) = 6$
$a - 14 = 6$
$a = 6 + 14 = 20$
Мы нашли значения $a=20$ и $b=2$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$, выполнив обратную замену:
$a = \frac{1}{x} \Rightarrow 20 = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{20}$
$b = \frac{1}{y} \Rightarrow 2 = \frac{1}{y} \Rightarrow y = \frac{1}{2}$
Проверка:
1) $\frac{1}{1/20} - \frac{7}{1/2} = 20 - 7 \cdot 2 = 20 - 14 = 6$.
2) $\frac{2}{1/20} + \frac{3}{1/2} = 2 \cdot 20 + 3 \cdot 2 = 40 + 6 = 46$.
Оба уравнения обращаются в верные равенства, следовательно, решение найдено верно.
Ответ: $(\frac{1}{20}; \frac{1}{2})$.

2)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{9}{x + 4y} - \frac{6}{5x - y} = -2, \\ \frac{3}{x + 4y} + \frac{18}{5x - y} = 1. \end{cases} $$ Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x + 4y}$ и $v = \frac{1}{5x - y}$. Тогда система уравнений преобразуется в линейную систему относительно $u$ и $v$: $$ \begin{cases} 9u - 6v = -2, \\ 3u + 18v = 1. \end{cases} $$ Решим эту систему. Умножим второе уравнение на -3, чтобы при сложении уравнений исключить переменную $u$: $$ \begin{cases} 9u - 6v = -2, \\ -9u - 54v = -3. \end{cases} $$ Сложим уравнения:
$(9u - 6v) + (-9u - 54v) = -2 + (-3)$
$-60v = -5$
$v = \frac{-5}{-60} = \frac{1}{12}$
Теперь подставим значение $v$ во второе уравнение системы ($3u + 18v = 1$):
$3u + 18 \cdot \frac{1}{12} = 1$
$3u + \frac{3}{2} = 1$
$3u = 1 - \frac{3}{2}$
$3u = -\frac{1}{2}$
$u = -\frac{1}{6}$
Сделаем обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:
$u = \frac{1}{x + 4y} \Rightarrow -\frac{1}{6} = \frac{1}{x + 4y} \Rightarrow x + 4y = -6$
$v = \frac{1}{5x - y} \Rightarrow \frac{1}{12} = \frac{1}{5x - y} \Rightarrow 5x - y = 12$
Получили новую систему линейных уравнений: $$ \begin{cases} x + 4y = -6, \\ 5x - y = 12. \end{cases} $$ Из второго уравнения выразим $y$: $y = 5x - 12$. Подставим это выражение в первое уравнение:
$x + 4(5x - 12) = -6$
$x + 20x - 48 = -6$
$21x = 42$
$x = 2$
Теперь найдем $y$:
$y = 5(2) - 12 = 10 - 12 = -2$
Проверка:
1) $\frac{9}{2 + 4(-2)} - \frac{6}{5(2) - (-2)} = \frac{9}{-6} - \frac{6}{12} = -\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = -2$.
2) $\frac{3}{2 + 4(-2)} + \frac{18}{5(2) - (-2)} = \frac{3}{-6} + \frac{18}{12} = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 1$.
Решение найдено правильно.
Ответ: $(2; -2)$.