Номер 1077, страница 214 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §28. Решение систем линейных уравнений методом сложения - номер 1077, страница 214.

Условие.

1077. Клетки таблицы размером $101 \times 101$ заполнены числами так, что произведение чисел в каждом столбце является отрицательным. Может ли оказаться, что количество строк, произведение чисел в которых положительно, равно 51?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения этой задачи воспользуемся методом доказательства от противного, анализируя четность количества отрицательных чисел в таблице.

Знак произведения набора чисел зависит от количества отрицательных множителей в нем. Произведение отрицательно, если количество отрицательных множителей нечетно. Произведение положительно, если количество отрицательных множителей четно. (Мы исходим из того, что в таблице нет нулей, иначе произведения были бы равны нулю, а не положительными или отрицательными).

Рассмотрим общее количество $N$ отрицательных чисел во всей таблице $101 \times 101$. Это число можно подсчитать двумя способами: по столбцам и по строкам.

1. Подсчет по столбцам.

По условию, произведение чисел в каждом из $101$ столбцов отрицательно. Это означает, что в каждом столбце содержится нечетное число отрицательных элементов. Чтобы найти общее количество отрицательных чисел в таблице, нужно сложить их количество по всем столбцам. Таким образом, $N$ является суммой $101$ нечетного числа. Сумма нечетного количества (101) нечетных слагаемых всегда является нечетным числом. Следовательно, общее число отрицательных элементов в таблице $N$ — нечетно.

2. Подсчет по строкам.

Предположим, что количество строк, произведение чисел в которых положительно, равно $51$. Это означает, что в каждой из этих $51$ строк находится четное число отрицательных элементов.

Общее количество строк в таблице — $101$. Следовательно, количество строк, в которых произведение чисел не является положительным, равно $101 - 51 = 50$. Поскольку произведение не равно нулю, оно должно быть отрицательным. Значит, в каждой из этих $50$ строк находится нечетное число отрицательных элементов.

Теперь подсчитаем общее количество отрицательных чисел $N$ в таблице, суммируя их по строкам. $N$ будет равно сумме количеств отрицательных чисел из $51$ строки (где их четное число) и из $50$ строк (где их нечетное число):
$N = (\text{сумма 51 четного числа}) + (\text{сумма 50 нечетных чисел})$.

• Сумма любого количества четных чисел является четным числом.
• Сумма четного количества (50) нечетных чисел является четным числом.

Таким образом, $N$ является суммой двух четных чисел, что дает в результате четное число. Следовательно, общее число отрицательных элементов в таблице $N$ — четно.

Противоречие.

Из подсчета по столбцам мы получили, что общее количество отрицательных чисел $N$ в таблице должно быть нечетным. Из подсчета по строкам, основанного на нашем предположении, мы получили, что $N$ должно быть четным. Одно и то же целое число не может быть одновременно и четным, и нечетным. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Нет, не может.