Номер 1084, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1084, страница 217.

Условие.

1084. Двое рабочих изготовили 135 деталей. Первый рабочий работал 7 дней, а второй – 12 дней. Сколько деталей изготавливал ежедневно каждый рабочий, если первый за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливал первый рабочий за один день, а $y$ — количество деталей, которое изготавливал второй рабочий за один день.

Исходя из условий задачи, можно составить систему уравнений.

1. Двое рабочих изготовили 135 деталей. Первый работал 7 дней, а второй — 12 дней. Общее количество изготовленных деталей можно выразить первым уравнением:

$7x + 12y = 135$

2. Первый рабочий за 3 дня сделал на 3 детали больше, чем второй за 4 дня. Это условие можно выразить вторым уравнением:

$3x = 4y + 3$

Приведем второе уравнение к стандартному виду:

$3x - 4y = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 12y = 135 \\ 3x - 4y = 3 \end{cases} $

Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$3 \cdot (3x - 4y) = 3 \cdot 3$

$9x - 12y = 9$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

$(7x + 12y) + (9x - 12y) = 135 + 9$

$16x = 144$

Найдем $x$:

$x = \frac{144}{16}$

$x = 9$

Таким образом, первый рабочий изготавливал 9 деталей в день.

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы ($3x - 4y = 3$), чтобы найти $y$:

$3 \cdot 9 - 4y = 3$

$27 - 4y = 3$

$4y = 27 - 3$

$4y = 24$

$y = \frac{24}{4}$

$y = 6$

Следовательно, второй рабочий изготавливал 6 деталей в день.

Проверка:

1. Общее количество деталей: первый рабочий за 7 дней изготовил $7 \cdot 9 = 63$ детали, второй за 12 дней изготовил $12 \cdot 6 = 72$ детали. Всего: $63 + 72 = 135$ деталей. Условие выполнено.

2. Сравнение производительности: первый за 3 дня изготовил $3 \cdot 9 = 27$ деталей, второй за 4 дня изготовил $4 \cdot 6 = 24$ детали. Разница составляет $27 - 24 = 3$ детали. Условие выполнено.

Ответ: первый рабочий изготавливал ежедневно 9 деталей, а второй — 6 деталей.