Номер 1085, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1085, страница 217.

Условие.

1085. Две бригады работали на сборе яблок. В первый день одна бригада работала 5 ч, а другая – 4 ч, причём вместе они собрали 40 ц яблок. На следующий день бригады работали с той же производительностью труда, причём первая бригада собрала за 3 ч на 2 ц больше, чем вторая за 2 ч. Сколько центнеров яблок собирала каждая бригада за 1 ч?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть производительность первой бригады составляет $x$ центнеров яблок в час (ц/ч), а производительность второй бригады — $y$ ц/ч.

В первый день первая бригада работала 5 часов и собрала $5x$ центнеров, а вторая работала 4 часа и собрала $4y$ центнеров. По условию, вместе они собрали 40 центнеров. Это можно записать в виде уравнения:
$5x + 4y = 40$

На следующий день первая бригада за 3 часа собрала $3x$ центнеров, а вторая за 2 часа — $2y$ центнеров. Из условия известно, что первая бригада собрала на 2 центнера больше, чем вторая. Это можно записать в виде второго уравнения:
$3x = 2y + 2$
или
$3x - 2y = 2$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 5x + 4y = 40, \\ 3x - 2y = 2. \end{cases}$

Для решения системы воспользуемся методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными по знаку:
$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 2$
$6x - 4y = 4$

Теперь сложим почленно первое уравнение ($5x + 4y = 40$) и полученное новое уравнение ($6x - 4y = 4$):
$(5x + 4y) + (6x - 4y) = 40 + 4$
$11x = 44$
$x = \frac{44}{11}$
$x = 4$

Итак, производительность первой бригады составляет 4 ц/ч.

Теперь подставим найденное значение $x=4$ во второе исходное уравнение ($3x - 2y = 2$), чтобы найти $y$:
$3 \cdot 4 - 2y = 2$
$12 - 2y = 2$
$-2y = 2 - 12$
$-2y = -10$
$y = \frac{-10}{-2}$
$y = 5$

Следовательно, производительность второй бригады составляет 5 ц/ч.

Проверка:
1) $5 \cdot 4 + 4 \cdot 5 = 20 + 20 = 40$ (верно).
2) Первая бригада за 3 часа собрала $3 \cdot 4 = 12$ ц, вторая за 2 часа — $2 \cdot 5 = 10$ ц. $12 - 10 = 2$ (верно).

Ответ: первая бригада собирала 4 центнера яблок за 1 час, а вторая бригада — 5 центнеров яблок за 1 час.