Номер 1091, страница 217 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1091, страница 217.

Условие.

1091. Из Курска в Москву, расстояние между которыми 536 км, выехал автомобиль. Через 2,5 ч после начала движения первого автомобиля на встречу ему из Москвы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого автомобиля, который выехал из Курска, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго автомобиля, который выехал из Москвы.

1. Составление первого уравнения на основе времени и места встречи.

Первый автомобиль до встречи был в пути $2,5$ часа до выезда второго, и еще $2$ часа после выезда второго, до момента встречи. Таким образом, общее время движения первого автомобиля составляет:

$t_1 = 2,5 + 2 = 4,5$ ч.

Второй автомобиль был в пути до встречи $2$ часа ($t_2 = 2$ ч).

За это время первый автомобиль проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 4,5v_1$ км.

Второй автомобиль проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 2v_2$ км.

Поскольку они двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное расстояние, которое они проехали, равно расстоянию между городами (536 км). Получаем первое уравнение:

$4,5v_1 + 2v_2 = 536$

2. Составление второго уравнения на основе соотношения скоростей.

По условию, первый автомобиль за 2 часа проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 часа. Расстояние, пройденное первым автомобилем за 2 часа, равно $2v_1$. Расстояние, пройденное вторым автомобилем за 3 часа, равно $3v_2$. Составим второе уравнение на основе этого условия:

$2v_1 = 3v_2 - 69$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 4,5v_1 + 2v_2 = 536 \\ 2v_1 = 3v_2 - 69 \end{cases}$

Выразим $v_1$ из второго уравнения:

$v_1 = \frac{3v_2 - 69}{2}$

Подставим это выражение для $v_1$ в первое уравнение:

$4,5 \left( \frac{3v_2 - 69}{2} \right) + 2v_2 = 536$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$4,5(3v_2 - 69) + 4v_2 = 1072$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_2$:

$13,5v_2 - 310,5 + 4v_2 = 1072$

$17,5v_2 = 1072 + 310,5$

$17,5v_2 = 1382,5$

$v_2 = \frac{1382,5}{17,5} = \frac{13825}{175} = 79$

Таким образом, скорость второго автомобиля $v_2 = 79$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля $v_1$, подставив найденное значение $v_2$ в выражение для $v_1$:

$v_1 = \frac{3 \cdot 79 - 69}{2} = \frac{237 - 69}{2} = \frac{168}{2} = 84$

Скорость первого автомобиля $v_1 = 84$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля — 84 км/ч, скорость второго автомобиля — 79 км/ч.