Номер 1095, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1095, страница 218.

Условие.

1095. Катер за 5 ч движения по течению реки проходит на 70 км больше, чем за 3 ч движения против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если за 9 ч движения по озеру он проходит столько, сколько за 10 ч движения против течения реки.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $v_k$ (км/ч) — скорость катера в стоячей воде (собственная скорость), а $v_t$ (км/ч) — скорость течения реки.

Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_k + v_t)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_k - v_t)$ км/ч.

Исходя из первого условия, "катер за 5 ч движения по течению реки проходит на 70 км больше, чем за 3 ч движения против течения", составим первое уравнение. Расстояние — это скорость, умноженная на время ($S = v \cdot t$).

$5 \cdot (v_k + v_t) = 3 \cdot (v_k - v_t) + 70$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$5v_k + 5v_t = 3v_k - 3v_t + 70$

$5v_k - 3v_k + 5v_t + 3v_t = 70$

$2v_k + 8v_t = 70$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$v_k + 4v_t = 35$

Теперь рассмотрим второе условие: "за 9 ч движения по озеру он проходит столько, сколько за 10 ч движения против течения реки". Скорость движения по озеру равна скорости катера в стоячей воде, то есть $v_k$. Составим второе уравнение:

$9 \cdot v_k = 10 \cdot (v_k - v_t)$

Раскроем скобки и упростим:

$9v_k = 10v_k - 10v_t$

$10v_t = 10v_k - 9v_k$

$10v_t = v_k$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_k + 4v_t = 35 \\ v_k = 10v_t \end{cases}$

Подставим выражение для $v_k$ из второго уравнения в первое:

$(10v_t) + 4v_t = 35$

$14v_t = 35$

$v_t = \frac{35}{14} = \frac{5}{2} = 2.5$

Мы нашли скорость течения: $v_t = 2.5$ км/ч.

Теперь найдем скорость катера в стоячей воде, подставив найденное значение $v_t$ во второе уравнение $v_k = 10v_t$:

$v_k = 10 \cdot 2.5 = 25$

Мы нашли собственную скорость катера: $v_k = 25$ км/ч.

Ответ: скорость катера в стоячей воде — 25 км/ч, скорость течения — 2,5 км/ч.