Номер 1099, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1099, страница 218.

Условие.

1099. Бабушка 6 лет тому назад была в 9 раз старше внучки, а 4 года тому назад – в 7 раз старше. Сколько лет бабушке и сколько – внучке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $Б$ — нынешний возраст бабушки, а $В$ — нынешний возраст внучки.

Составление первого уравнения

Согласно первому условию, 6 лет тому назад возраст бабушки был $(Б - 6)$ лет, а возраст внучки — $(В - 6)$ лет. В это время бабушка была в 9 раз старше внучки. Составим уравнение:

$Б - 6 = 9 \cdot (В - 6)$

Раскроем скобки:

$Б - 6 = 9В - 54$

Выразим $Б$:

$Б = 9В - 48$

Составление второго уравнения

Согласно второму условию, 4 года тому назад возраст бабушки был $(Б - 4)$ лет, а возраст внучки — $(В - 4)$ лет. В это время бабушка была в 7 раз старше внучки. Составим второе уравнение:

$Б - 4 = 7 \cdot (В - 4)$

Раскроем скобки:

$Б - 4 = 7В - 28$

Выразим $Б$:

$Б = 7В - 24$

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} Б = 9В - 48 \\ Б = 7В - 24 \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны:

$9В - 48 = 7В - 24$

Теперь решим это уравнение относительно $В$:

$9В - 7В = 48 - 24$

$2В = 24$

$В = 12$

Таким образом, нынешний возраст внучки — 12 лет.

Для того чтобы найти возраст бабушки, подставим значение $В=12$ в любое из выражений для $Б$. Например, во второе:

$Б = 7 \cdot 12 - 24$

$Б = 84 - 24$

$Б = 60$

Нынешний возраст бабушки — 60 лет.

Проверка

1. 6 лет назад: бабушке было $60 - 6 = 54$ года, а внучке $12 - 6 = 6$ лет. Отношение возрастов $54 / 6 = 9$. Условие выполняется.

2. 4 года назад: бабушке было $60 - 4 = 56$ лет, а внучке $12 - 4 = 8$ лет. Отношение возрастов $56 / 8 = 7$. Условие выполняется.

Решение найдено верно.

Ответ: бабушке 60 лет, внучке 12 лет.