Номер 1097, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1097, страница 218.

Условие.

1097. (Задача из индийского фольклора.) Один говорит другому: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя». Другой отвечает: «А если ты дашь мне 10 рупий, то я стану в 6 раз богаче тебя». Сколько денег было у каждого?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Это классическая задача, которая решается с помощью системы линейных уравнений. Обозначим количество денег у первого человека как $x$, а у второго — как $y$.

1. Анализ первого условия

Первый человек говорит: «Дай мне 100 рупий, и я буду вдвое богаче тебя».

Если второй даст первому 100 рупий, то:

• У первого станет: $x + 100$ рупий.
• У второго останется: $y - 100$ рупий.

По условию, количество денег у первого будет в два раза больше, чем у второго. Составляем первое уравнение:

$x + 100 = 2(y - 100)$

2. Анализ второго условия

Второй отвечает: «А если ты дашь мне 10 рупий, то я стану в 6 раз богаче тебя».

Если первый даст второму 10 рупий, то:

• У первого останется: $x - 10$ рупий.
• У второго станет: $y + 10$ рупий.

По условию, количество денег у второго будет в шесть раз больше, чем у первого. Составляем второе уравнение:

$y + 10 = 6(x - 10)$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x + 100 = 2(y - 100) \\ y + 10 = 6(x - 10) \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение. Раскроем скобки:

1) $x + 100 = 2y - 200 \implies x = 2y - 300$

2) $y + 10 = 6x - 60$

Теперь подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$y + 10 = 6(2y - 300) - 60$

Решим полученное уравнение относительно $y$:

$y + 10 = 12y - 1800 - 60$

$y + 10 = 12y - 1860$

Перенесем слагаемые с $y$ в одну сторону, а числа — в другую:

$1860 + 10 = 12y - y$

$1870 = 11y$

$y = \frac{1870}{11} = 170$

Итак, у второго человека было 170 рупий.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 2y - 300$:

$x = 2 \cdot 170 - 300$

$x = 340 - 300$

$x = 40$

Таким образом, у первого человека было 40 рупий.

4. Проверка

Проверим, соответствуют ли найденные значения условиям задачи.

• Если у первого 40, а у второго 170, и второй дает первому 100, то у них становится $40+100=140$ и $170-100=70$. $140$ вдвое больше $70$. Условие выполнено.
• Если первый дает второму 10, то у них становится $40-10=30$ и $170+10=180$. $180$ в шесть раз больше $30$. Условие выполнено.

Ответ: у первого человека было 40 рупий, у второго — 170 рупий.