Номер 1101, страница 218 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1101, страница 218.

Условие.

1101. У Миши и Гали было вместе 1500 р. Когда Миша истратил $ \frac{1}{3} $ своих денег на приобретение математического справочника, а Галя - $ \frac{1}{6} $ своих денег на приобретение справочника по русскому языку, то оказалось, что Миша истратил на 50 р. больше, чем Галя. Сколько денег было у каждого из них сначала?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим сумму денег, которая была у Миши, как $x$ рублей, а у Гали — как $y$ рублей.

Согласно условию задачи, вместе у них было 1500 рублей. Это можно записать в виде первого уравнения:

$x + y = 1500$

Миша потратил $\frac{1}{3}$ своих денег, то есть $\frac{1}{3}x$. Галя потратила $\frac{1}{6}$ своих денег, то есть $\frac{1}{6}y$. Известно, что Миша потратил на 50 рублей больше, чем Галя. Составим второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{6}y + 50$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 1500 \\ \frac{1}{3}x = \frac{1}{6}y + 50 \end{cases} $

Упростим второе уравнение, умножив все его члены на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot \frac{1}{3}x = 6 \cdot \frac{1}{6}y + 6 \cdot 50$

$2x = y + 300$

Перенесем $y$ в левую часть уравнения:

$2x - y = 300$

Теперь система уравнений выглядит так:

$ \begin{cases} x + y = 1500 \\ 2x - y = 300 \end{cases} $

Сложим левые и правые части обоих уравнений (метод алгебраического сложения), чтобы исключить переменную $y$:

$(x + y) + (2x - y) = 1500 + 300$

$3x = 1800$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{1800}{3}$

$x = 600$

Итак, у Миши было 600 рублей.

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы ($x + y = 1500$), чтобы найти $y$:

$600 + y = 1500$

$y = 1500 - 600$

$y = 900$

Следовательно, у Гали было 900 рублей.

Проверим правильность решения. Общая сумма: $600 + 900 = 1500$ р. Миша потратил $\frac{1}{3} \cdot 600 = 200$ р. Галя потратила $\frac{1}{6} \cdot 900 = 150$ р. Разница в тратах: $200 - 150 = 50$ р. Все условия задачи выполнены.

Ответ: изначально у Миши было 600 рублей, а у Гали — 900 рублей.