Номер 1103, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1103, страница 219.

Условие.

1103. Известно, что 2 банки краски и 3 банки олифы стоили 320 р. После того как краска подешевела на 30 %, а олифа подорожала на 20 %, за 6 банок краски и 5 банок олифы заплатили 660 р. Найдите первоначальную цену одной банки краски и одной банки олифы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Обозначим первоначальную цену одной банки краски как $x$ рублей, а первоначальную цену одной банки олифы как $y$ рублей.

Согласно первому условию, 2 банки краски и 3 банки олифы стоили 320 рублей. Можем составить первое уравнение:

$2x + 3y = 320$

Далее, цена краски подешевела на 30%. Новая цена краски составила $100\% - 30\% = 70\%$ от первоначальной, то есть $0.7x$ рублей.

Цена олифы подорожала на 20%. Новая цена олифы составила $100\% + 20\% = 120\%$ от первоначальной, то есть $1.2y$ рублей.

По новым ценам за 6 банок краски и 5 банок олифы заплатили 660 рублей. Составим второе уравнение:

$6 \cdot (0.7x) + 5 \cdot (1.2y) = 660$

Упростим это уравнение:

$4.2x + 6y = 660$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} 2x + 3y = 320 \\ 4.2x + 6y = 660 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки или сложения. Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на -2, чтобы при сложении уравнений переменная $y$ сократилась:

$-2 \cdot (2x + 3y) = -2 \cdot 320$

$-4x - 6y = -640$

Теперь сложим полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(-4x - 6y) + (4.2x + 6y) = -640 + 660$

$0.2x = 20$

$x = \frac{20}{0.2} = 100$

Итак, первоначальная цена одной банки краски равна 100 рублей.

Теперь найдем цену олифы, подставив значение $x$ в первое уравнение исходной системы:

$2 \cdot 100 + 3y = 320$

$200 + 3y = 320$

$3y = 320 - 200$

$3y = 120$

$y = \frac{120}{3} = 40$

Следовательно, первоначальная цена одной банки олифы равна 40 рублей.

Ответ: первоначальная цена одной банки краски — 100 рублей, первоначальная цена одной банки олифы — 40 рублей.