Номер 1106, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1106, страница 219.

Условие.

1106. Известно, что 60 % числа $a$ на 2 больше, чем 70 % числа $b$, а 50 % числа $b$ на 10 больше, чем $\frac{1}{3}$ числа $a$. Найдите числа $a$ и $b$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи составим систему уравнений на основе данных условий. Пусть $a$ и $b$ – искомые числа.

Первое условие: "60 % числа $a$ на 2 больше, чем 70 % числа $b$". В виде уравнения это записывается так:

$0.6a = 0.7b + 2$

Второе условие: "50 % числа $b$ на 10 больше, чем $\frac{1}{3}$ числа $a$". Второе уравнение системы:

$0.5b = \frac{1}{3}a + 10$

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} 0.6a = 0.7b + 2 \\ 0.5b = \frac{1}{3}a + 10 \end{cases} $$

Упростим систему, чтобы избавиться от дробей. Умножим первое уравнение на 10, а второе на 6:

$$ \begin{cases} 6a = 7b + 20 \\ 3b = 2a + 60 \end{cases} $$

Приведем систему к стандартному виду, перенеся переменные в левую часть:

$$ \begin{cases} 6a - 7b = 20 \\ -2a + 3b = 60 \end{cases} $$

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $a$ стали противоположными:

$$ \begin{cases} 6a - 7b = 20 \\ -6a + 9b = 180 \end{cases} $$

Сложим левые и правые части уравнений:

$(6a - 7b) + (-6a + 9b) = 20 + 180$

$2b = 200$

$b = 100$

Теперь подставим найденное значение $b=100$ в уравнение $-2a + 3b = 60$, чтобы найти $a$:

$-2a + 3 \cdot 100 = 60$

$-2a + 300 = 60$

$-2a = 60 - 300$

$-2a = -240$

$a = 120$

Проверка:
1) 60% от 120 равно $0.6 \cdot 120 = 72$. 70% от 100 равно $0.7 \cdot 100 = 70$. Разница $72 - 70 = 2$. Условие выполнено.
2) 50% от 100 равно $0.5 \cdot 100 = 50$. $\frac{1}{3}$ от 120 равно $\frac{1}{3} \cdot 120 = 40$. Разница $50 - 40 = 10$. Условие выполнено.

Ответ: $a = 120$, $b = 100$.