Номер 1112, страница 219 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1112, страница 219.

Условие.

1112. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на $45 \text{ см}^2$. Если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на $17 \text{ см}^2$. Найдите стороны данного прямоугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть стороны искомого прямоугольника равны $a$ см и $b$ см. Тогда его площадь составляет $S = ab$ см².

Из первого условия задачи, если каждую сторону увеличить на 3 см, то новые стороны будут $(a+3)$ см и $(b+3)$ см, а новая площадь $S_1 = (a+3)(b+3)$ см². Эта площадь на 45 см² больше исходной, поэтому можно составить уравнение:

$(a+3)(b+3) = ab + 45$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$ab + 3a + 3b + 9 = ab + 45$

$3a + 3b = 45 - 9$

$3a + 3b = 36$

Разделим обе части уравнения на 3:

$a + b = 12$

Из второго условия задачи, если две противоположные стороны увеличить на 4 см (пусть это будет сторона $a$), а две другие уменьшить на 5 см (сторона $b$), то новые стороны будут $(a+4)$ см и $(b-5)$ см. Новая площадь $S_2 = (a+4)(b-5)$ см². Эта площадь на 17 см² меньше исходной, что дает нам второе уравнение:

$(a+4)(b-5) = ab - 17$

Раскроем скобки и упростим:

$ab - 5a + 4b - 20 = ab - 17$

$-5a + 4b = -17 + 20$

$-5a + 4b = 3$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} a + b = 12 \\ -5a + 4b = 3 \end{cases}$

Выразим $a$ из первого уравнения: $a = 12 - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-5(12-b) + 4b = 3$

$-60 + 5b + 4b = 3$

$9b = 3 + 60$

$9b = 63$

$b = \frac{63}{9}$

$b = 7$

Теперь найдем $a$, подставив найденное значение $b$ в выражение $a = 12 - b$:

$a = 12 - 7 = 5$

Следовательно, стороны данного прямоугольника равны 5 см и 7 см.

Ответ: 5 см и 7 см.