Номер 1119, страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1119, страница 220.

Условие.

1119. Из города Солнечный в село Весёлое в 9 ч 5 мин и в 9 ч 45 мин выехали с одинаковой скоростью два автобуса. Из Весёлого в Солнечный в 9 ч 30 мин выехал велосипедист, который встретился с первым автобусом в 9 ч 45 мин, а со вторым — в 10 ч 15 мин. Найдите скорости автобусов и велосипедиста, если расстояние между Солнечным и Весёлым равно 36 км.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $V_а$ км/ч — скорость автобусов, а $V_в$ км/ч — скорость велосипедиста.

Рассмотрим встречу велосипедиста с первым автобусом. Первый автобус выехал в 9 ч 5 мин, а велосипедист — в 9 ч 30 мин. Они встретились в 9 ч 45 мин. К моменту встречи первый автобус был в пути $9 \text{ ч } 45 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 5 \text{ мин} = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$. Велосипедист был в пути $9 \text{ ч } 45 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$. Поскольку они двигались навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которыми 36 км, то суммарное пройденное ими расстояние равно 36 км. Составим первое уравнение:

$\frac{2}{3}V_а + \frac{1}{4}V_в = 36$.

Теперь рассмотрим встречу велосипедиста со вторым автобусом. Второй автобус выехал в 9 ч 45 мин, а встретились они с велосипедистом в 10 ч 15 мин. К моменту встречи второй автобус был в пути $10 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 45 \text{ мин} = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$. Велосипедист к этому моменту был в пути $10 \text{ ч } 15 \text{ мин} - 9 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$. Суммарное пройденное ими расстояние также равно 36 км. Составим второе уравнение:

$\frac{1}{2}V_а + \frac{3}{4}V_в = 36$.

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$$ \begin{cases} \frac{2}{3}V_а + \frac{1}{4}V_в = 36 \\ \frac{1}{2}V_а + \frac{3}{4}V_в = 36 \end{cases} $$

Умножим обе части первого уравнения на 12, а второго — на 4, чтобы избавиться от дробей:

$$ \begin{cases} 8V_а + 3V_в = 432 \\ 2V_а + 3V_в = 144 \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(8V_а + 3V_в) - (2V_а + 3V_в) = 432 - 144$

$6V_а = 288$

$V_а = \frac{288}{6} = 48$ (км/ч).

Подставим найденное значение $V_а = 48$ во второе уравнение $(2V_а + 3V_в = 144)$:

$2 \cdot 48 + 3V_в = 144$

$96 + 3V_в = 144$

$3V_в = 144 - 96$

$3V_в = 48$

$V_в = \frac{48}{3} = 16$ (км/ч).

Таким образом, скорость автобусов составляет 48 км/ч, а скорость велосипедиста — 16 км/ч.

Ответ: скорость автобусов 48 км/ч, скорость велосипедиста 16 км/ч.