Номер 1125, страница 221 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1125, страница 221.

Условие.

1125. В двух бочках ёмкостью 40 л и 60 л было некоторое количество воды.

Если в меньшую бочку долить доверху воды из большей, то в большей останется $\frac{5}{7}$ количества воды, которое было в ней сначала. Если в большую бочку долить доверху воды из меньшей, то в меньшей останется $\frac{5}{14}$ количества воды, которое было в ней сначала. Сколько литров воды было в каждой бочке сначала?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $x$ литров — количество воды, которое было сначала в меньшей бочке (ёмкостью 40 л), а $y$ литров — количество воды, которое было сначала в большей бочке (ёмкостью 60 л).

Согласно первому условию, если в меньшую бочку (в которой $x$ л) долить воды доверху (до 40 л) из большей, то долить нужно $40 - x$ литров. Этот объём воды забирается из большей бочки, и в ней остаётся $y - (40 - x)$ литров. По условию, это количество составляет $\frac{5}{7}$ от первоначального объёма воды в большей бочке. Составим первое уравнение:
$y - (40 - x) = \frac{5}{7}y$
$y - 40 + x = \frac{5}{7}y$
$x + y - \frac{5}{7}y = 40$
$x + \frac{2}{7}y = 40$

Согласно второму условию, если в большую бочку (в которой $y$ л) долить воды доверху (до 60 л) из меньшей, то долить нужно $60 - y$ литров. Этот объём воды забирается из меньшей бочки, и в ней остаётся $x - (60 - y)$ литров. По условию, это количество составляет $\frac{5}{14}$ от первоначального объёма воды в меньшей бочке. Составим второе уравнение:
$x - (60 - y) = \frac{5}{14}x$
$x - 60 + y = \frac{5}{14}x$
$y = 60 + \frac{5}{14}x - x$
$y = 60 - \frac{9}{14}x$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x + \frac{2}{7}y = 40 \\ y = 60 - \frac{9}{14}x \end{cases}$
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + \frac{2}{7}(60 - \frac{9}{14}x) = 40$
$x + \frac{120}{7} - \frac{18}{98}x = 40$
$x + \frac{120}{7} - \frac{9}{49}x = 40$
Сгруппируем слагаемые с $x$:
$(1 - \frac{9}{49})x = 40 - \frac{120}{7}$
$\frac{40}{49}x = \frac{280 - 120}{7}$
$\frac{40}{49}x = \frac{160}{7}$
Найдём $x$:
$x = \frac{160}{7} \cdot \frac{49}{40}$
$x = \frac{160}{40} \cdot \frac{49}{7}$
$x = 4 \cdot 7 = 28$
Итак, в меньшей бочке было 28 литров воды.

Теперь найдём $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:
$y = 60 - \frac{9}{14} \cdot 28$
$y = 60 - 9 \cdot 2$
$y = 60 - 18 = 42$
В большей бочке было 42 литра воды.

Ответ: в меньшей бочке (ёмкостью 40 л) было 28 литров воды, а в большей (ёмкостью 60 л) — 42 литра.