Номер 1129, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1129, страница 222.

Условие.

1129. Постройте график функции:

1) $y = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8x^3;$

2) $y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)^2;$

3) $y = (0,5x + 2)^2 - (0,5x - 1)(0,5x + 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для построения графика функции $y = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) - 8x^3$ необходимо сначала упростить её выражение. Выражение в скобках $(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$ представляет собой формулу разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3 - b^3$. В данном случае $a=2x$ и $b=1$. Применяя формулу, получаем:$(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) = (2x)^3 - 1^3 = 8x^3 - 1$. Теперь подставим это выражение в исходное уравнение функции:$y = (8x^3 - 1) - 8x^3$$y = 8x^3 - 1 - 8x^3$$y = -1$Таким образом, исходная функция является константой. Графиком функции $y = -1$ является прямая, параллельная оси абсцисс (оси $Ox$) и проходящая через точку $(0; -1)$ на оси ординат (оси $Oy$).
Ответ: Графиком функции является прямая $y=-1$.

2) Для построения графика функции $y = (x + 1)(x + 4) - (x + 3)^2$ упростим её выражение. Для этого раскроем скобки. Первое произведение: $(x + 1)(x + 4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$. Второй член, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$. Подставим раскрытые выражения обратно в функцию:$y = (x^2 + 5x + 4) - (x^2 + 6x + 9)$$y = x^2 + 5x + 4 - x^2 - 6x - 9$Приведем подобные слагаемые:$y = (x^2 - x^2) + (5x - 6x) + (4 - 9)$$y = -x - 5$В результате мы получили линейную функцию вида $y=kx+b$. Её график — это прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем координаты точек пересечения с осями координат:1. При $x = 0$: $y = -0 - 5 = -5$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0; -5)$.2. При $y = 0$: $0 = -x - 5$, откуда $x = -5$. Точка пересечения с осью $Ox$ — $(-5; 0)$. График — это прямая, проходящая через точки $(0; -5)$ и $(-5; 0)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=-x-5$.

3) Для построения графика функции $y = (0,5x + 2)^2 - (0,5x - 1)(0,5x + 1)$ упростим её выражение, используя формулы сокращенного умножения. Для первого члена применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:$(0,5x + 2)^2 = (0,5x)^2 + 2 \cdot 0,5x \cdot 2 + 2^2 = 0,25x^2 + 2x + 4$. Для второго члена применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:$(0,5x - 1)(0,5x + 1) = (0,5x)^2 - 1^2 = 0,25x^2 - 1$. Подставим полученные выражения в исходное уравнение:$y = (0,25x^2 + 2x + 4) - (0,25x^2 - 1)$$y = 0,25x^2 + 2x + 4 - 0,25x^2 + 1$Приведем подобные слагаемые:$y = (0,25x^2 - 0,25x^2) + 2x + (4 + 1)$$y = 2x + 5$В результате мы получили линейную функцию. Её график — это прямая. Для построения прямой найдем две точки:1. При $x = 0$: $y = 2 \cdot 0 + 5 = 5$. Получаем точку $(0; 5)$.2. При $x = -2$: $y = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$. Получаем точку $(-2; 1)$. График — это прямая, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(-2; 1)$.
Ответ: Графиком функции является прямая $y=2x+5$.