Номер 1128, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1128, страница 222.

Условие.

1128. В равенстве $4(0,5x - 3) = 3x + *$ замените звёздочку таким выражением, чтобы образовалось уравнение:

1) не имеющее корней;

2) имеющее бесконечно много корней;

3) имеющее один корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для начала упростим левую часть данного равенства, раскрыв скобки:

$4(0,5x - 3) = 4 \cdot 0,5x - 4 \cdot 3 = 2x - 12$

Теперь равенство выглядит так:

$2x - 12 = 3x + *$

Чтобы проанализировать уравнение, перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую. Обозначим выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, как $E$.

$2x - 3x - E_{x} = 12 + E_{c}$

Здесь $E_{x}$ — часть выражения $E$, содержащая $x$, а $E_{c}$ — его постоянная часть. Уравнение можно записать в общем виде $ax = b$.

1) не имеющее корней;

Уравнение вида $ax = b$ не имеет корней, если коэффициент $a = 0$, а свободный член $b \ne 0$. В нашем случае нужно получить уравнение вида $0x = b$, где $b \ne 0$.

Рассмотрим наше уравнение: $2x - 12 = 3x + *$.

Чтобы коэффициенты при $x$ в левой и правой частях были одинаковыми, нужно, чтобы справа было $2x$. Сейчас там $3x$. Значит, нужно вычесть $x$. Заменим звёздочку на выражение, содержащее $-x$.

Пусть вместо звёздочки стоит выражение $-x + c$, где $c$ — некоторое число.

$2x - 12 = 3x + (-x + c)$

$2x - 12 = 2x + c$

$2x - 2x = 12 + c$

$0x = 12 + c$

Чтобы уравнение не имело корней, правая часть не должна быть равна нулю: $12 + c \ne 0$, то есть $c \ne -12$.

Мы можем выбрать любое число $c$, не равное $-12$. Например, возьмем $c = 5$. Тогда выражение будет $-x+5$. Можно взять и проще, например, $c=0$, тогда выражение будет просто $-x$.

Проверим для $-x$:

$2x - 12 = 3x - x$

$2x - 12 = 2x$

$-12 = 0$ (неверно)

Уравнение не имеет корней.

Ответ: например, выражением $-x$.

2) имеющее бесконечно много корней;

Уравнение вида $ax = b$ имеет бесконечно много корней, если $a = 0$ и $b = 0$. В нашем случае нужно получить тождество $0x = 0$.

Это произойдет, если левая и правая части уравнения будут полностью идентичны. Наша левая часть равна $2x - 12$. Значит, и правая часть должна стать $2x - 12$.

Сейчас правая часть равна $3x + *$. Чтобы получить $2x - 12$, нужно вместо звёздочки подставить такое выражение $E$, что $3x + E = 2x - 12$.

Найдем $E$:

$E = 2x - 12 - 3x$

$E = -x - 12$

Заменим звёздочку на выражение $-x - 12$.

Проверим:

$4(0,5x - 3) = 3x + (-x - 12)$

$2x - 12 = 2x - 12$

$0 = 0$ (верно для любого $x$)

Уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: выражением $-x - 12$.

3) имеющее один корень.

Уравнение вида $ax = b$ имеет один корень, если коэффициент $a \ne 0$.

В нашем уравнении $2x - 12 = 3x + *$ это означает, что после переноса всех слагаемых с $x$ в одну сторону коэффициент при $x$ не должен стать равным нулю.

Если мы заменим звёздочку на любое выражение, которое не содержит $-x$ (как в пунктах 1 и 2), то коэффициент при $x$ не будет равен нулю.

Например, заменим звёздочку на любое число, скажем, $8$.

$2x - 12 = 3x + 8$

$2x - 3x = 12 + 8$

$-x = 20$

$x = -20$

Это единственный корень.

Или заменим звёздочку на выражение с $x$, например, на $2x$.

$2x - 12 = 3x + 2x$

$2x - 12 = 5x$

$2x - 5x = 12$

$-3x = 12$

$x = -4$

Это также единственный корень.

Ответ: например, любым числом (кроме $-x-12$ целиком), например, числом $8$ или выражением $2x$.