Номер 1133, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1133, страница 222.

Условие.

1133. Разложите на множители выражение:

1) $4kn + 6ak + 6an + 9a^2;$

2) $b^6 - 4b^4 + 12b^2 - 9;$

3) $y^4(x^2 + 8x + 16) - a^8;$

4) $9x^2 - 6x - 35.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

1) Для разложения на множители выражения $4kn + 6ak + 6an + 9a^2$ воспользуемся методом группировки слагаемых. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:

$(4kn + 6ak) + (6an + 9a^2)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. В первой группе общим множителем является $2k$, а во второй — $3a$:

$2k(2n + 3a) + 3a(2n + 3a)$

Теперь мы видим, что у обоих получившихся слагаемых есть общий множитель $(2n + 3a)$. Вынесем его за скобки:

$(2n + 3a)(2k + 3a)$

Ответ: $(2n + 3a)(2k + 3a)$

2) В выражении $b^6 - 4b^4 + 12b^2 - 9$ сгруппируем последние три слагаемых и вынесем знак минус за скобки:

$b^6 - (4b^4 - 12b^2 + 9)$

Выражение в скобках $4b^4 - 12b^2 + 9$ представляет собой полный квадрат разности, так как $4b^4 = (2b^2)^2$, $9 = 3^2$, и удвоенное произведение этих членов равно $-2 \cdot (2b^2) \cdot 3 = -12b^2$. Используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$4b^4 - 12b^2 + 9 = (2b^2 - 3)^2$

Подставим это обратно в исходное выражение:

$b^6 - (2b^2 - 3)^2$

Мы получили разность квадратов, так как $b^6 = (b^3)^2$. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(b^3)^2 - (2b^2 - 3)^2 = (b^3 - (2b^2 - 3))(b^3 + (2b^2 - 3))$

Раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный вид:

$(b^3 - 2b^2 + 3)(b^3 + 2b^2 - 3)$

Ответ: $(b^3 - 2b^2 + 3)(b^3 + 2b^2 - 3)$

3) Рассмотрим выражение $y^4(x^2 + 8x + 16) - a^8$. В первую очередь обратим внимание на выражение в скобках $x^2 + 8x + 16$. Это полный квадрат суммы, так как $x^2 = (x)^2$, $16 = 4^2$, и $8x = 2 \cdot x \cdot 4$. По формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$y^4(x+4)^2 - a^8$

Это выражение является разностью квадратов. Представим каждый член в виде квадрата:

$y^4(x+4)^2 = (y^2(x+4))^2$

$a^8 = (a^4)^2$

Таким образом, мы имеем:

$(y^2(x+4))^2 - (a^4)^2$

Используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$(y^2(x+4) - a^4)(y^2(x+4) + a^4)$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(xy^2 + 4y^2 - a^4)(xy^2 + 4y^2 + a^4)$

Ответ: $(xy^2 + 4y^2 - a^4)(xy^2 + 4y^2 + a^4)$

4) Для разложения на множители квадратного трехчлена $9x^2 - 6x - 35$ представим средний член $-6x$ в виде суммы двух слагаемых. Для этого найдем два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов при $x^2$ и свободного члена ($9 \cdot (-35) = -315$), а сумма равна коэффициенту при $x$ ($-6$).

Такими числами являются $15$ и $-21$, поскольку $15 \cdot (-21) = -315$ и $15 + (-21) = -6$.

Перепишем исходное выражение, заменив $-6x$ на $15x - 21x$:

$9x^2 + 15x - 21x - 35$

Теперь применим метод группировки:

$(9x^2 + 15x) - (21x + 35)$

Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $3x$, во второй — $7$:

$3x(3x + 5) - 7(3x + 5)$

Вынесем общий множитель $(3x + 5)$ за скобки:

$(3x + 5)(3x - 7)$

Ответ: $(3x+5)(3x-7)$