Номер 1132, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1132, страница 222.

Условие.

1132. Докажите тождество $(a-bc)^2 - 2(b^2c^2-a^2) + (bc+a)^2 = 4a^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, чтобы показать, что она равна правой части.

Исходное тождество: $(a - bc)^2 - 2(b^2c^2 - a^2) + (bc + a)^2 = 4a^2$.

Сначала сгруппируем первое и третье слагаемые в левой части выражения:

$((a - bc)^2 + (a + bc)^2) - 2(b^2c^2 - a^2)$

Для упрощения выражения в скобках воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы квадратов: $(x - y)^2 + (x + y)^2 = 2(x^2 + y^2)$.

В данном случае $x = a$ и $y = bc$. Применив формулу, получаем:

$(a - bc)^2 + (a + bc)^2 = 2(a^2 + (bc)^2) = 2(a^2 + b^2c^2)$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение левой части тождества:

$2(a^2 + b^2c^2) - 2(b^2c^2 - a^2)$

Раскроем скобки, умножив каждый член в них на множитель перед скобками:

$2a^2 + 2b^2c^2 - 2b^2c^2 + 2a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2a^2 + 2a^2) + (2b^2c^2 - 2b^2c^2) = 4a^2 + 0 = 4a^2$

В результате преобразований мы установили, что левая часть тождества равна $4a^2$, что в точности совпадает с его правой частью.

$4a^2 = 4a^2$

Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано, так как в результате преобразований левая часть была приведена к виду $4a^2$, что равно правой части.