Номер 1138, страница 222 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. §29. Решение задач с помощью системы линейных уравнений - номер 1138, страница 222.

Условие.

1138. Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для доказательства этого утверждения можно использовать два подхода.

Способ 1: Группировка делителей в пары

Рассмотрим произвольное натуральное число $M$. Если $d$ является делителем числа $M$, то и число $M/d$ также является его делителем. Это позволяет нам сгруппировать все делители числа $M$ в пары вида $(d, M/d)$.

Если число $M$ не является полным квадратом, то для любого его делителя $d$ выполняется условие $d \neq M/d$. В этом случае все делители разбиваются на пары, и их общее количество является чётным. Например, для $M=10$ делители {1, 2, 5, 10} образуют пары (1, 10) и (2, 5). Всего 4 делителя (чётное число).

Теперь рассмотрим случай, когда число является квадратом натурального числа. Пусть $M = n^2$ для некоторого натурального $n$. В этом случае существует делитель $d=n$, для которого пара будет выглядеть как $(n, n^2/n) = (n, n)$. То есть этот делитель образует пару сам с собой. Все остальные делители $d \neq n$ по-прежнему можно сгруппировать в пары $(d, n^2/d)$, где $d \neq n^2/d$.

Таким образом, общее количество делителей числа $n^2$ складывается из некоторого числа пар (что даёт чётное количество делителей) и одного "непарного" делителя, равного $n$. Сумма чётного числа и единицы всегда является нечётным числом.

Например, для $M=36=6^2$, делители: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Пары: (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9). Делитель 6 остаётся без пары. Общее число делителей равно $2 \times 4 + 1 = 9$, что нечётно.

Следовательно, квадрат натурального числа всегда имеет нечётное количество делителей.

Способ 2: Использование канонического разложения на простые множители

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число $n > 1$ можно единственным образом представить в виде произведения степеней простых чисел:
$n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$,
где $p_1, p_2, \ldots, p_k$ — различные простые числа, а $a_1, a_2, \ldots, a_k$ — их натуральные степени.

Возведём число $n$ в квадрат, получив его каноническое разложение:
$n^2 = (p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k})^2 = p_1^{2a_1} p_2^{2a_2} \cdots p_k^{2a_k}$.

Известно, что число натуральных делителей $\tau(N)$ для числа $N = p_1^{b_1} p_2^{b_2} \cdots p_k^{b_k}$ вычисляется по формуле:
$\tau(N) = (b_1 + 1)(b_2 + 1)\cdots(b_k + 1)$.

Применим эту формулу для нахождения числа делителей $n^2$. В нашем случае степени $b_i$ равны $2a_i$:
$\tau(n^2) = (2a_1 + 1)(2a_2 + 1)\cdots(2a_k + 1)$.

Каждый множитель в этом произведении имеет вид $(2a_i + 1)$. Поскольку $a_i$ — натуральное число, $2a_i$ — это чётное число. Тогда $(2a_i + 1)$ — это всегда нечётное число.

Таким образом, общее количество делителей $\tau(n^2)$ равно произведению нескольких нечётных чисел. Произведение нечётных чисел всегда даёт в результате нечётное число.

Для случая $n=1$, имеем $n^2=1$. У числа 1 есть только один делитель — само число 1. Количество делителей равно 1, что является нечётным числом.

Таким образом, мы доказали, что квадрат любого натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Ответ: Утверждение доказано.