Номер 7, страница 223 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Задание № 7 «Проверь себя» в тестовой форм - номер 7, страница 223.

Условие.

7. При каком значении $b$ система уравнений $\begin{cases} 4x + by = 10, \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений?

А) $-6$

Б) $6$

В) $3$

Г) такого значения не существует

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Система двух линейных уравнений $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ имеет бесконечно много решений, если одно уравнение системы может быть получено из другого путем умножения на некоторое число. Это равносильно тому, что коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны, то есть выполняется следующее условие:$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$

Для данной системы уравнений:$\begin{cases} 4x + by = 10 \\ 2x - 3y = 5 \end{cases}$Коэффициенты имеют следующие значения:$a_1 = 4$, $b_1 = b$, $c_1 = 10$$a_2 = 2$, $b_2 = -3$, $c_2 = 5$

Подставим эти значения в условие пропорциональности:$\frac{4}{2} = \frac{b}{-3} = \frac{10}{5}$

Вычислим известные отношения:$\frac{4}{2} = 2$$\frac{10}{5} = 2$

Поскольку отношения коэффициентов при $x$ и свободных членов равны 2, то для того, чтобы система имела бесконечное множество решений, отношение коэффициентов при $y$ также должно быть равно 2. Составим уравнение для нахождения $b$:$\frac{b}{-3} = 2$

Решим это уравнение:$b = 2 \cdot (-3)$$b = -6$

Таким образом, система уравнений имеет бесконечно много решений при значении $b = -6$. Ответ: -6