Номер 12, страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 4. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Задание № 7 «Проверь себя» в тестовой форм - номер 12, страница 224.

Условие.

12. Решите уравнение $x^2 + y^2 + 12x - 2y + 37 = 0$.

А) (6; 1)

Б) (-6; 1)

В) (-6; -1)

Г) уравнение не имеет решений

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Чтобы решить уравнение $x^2 + y^2 + 12x - 2y + 37 = 0$, преобразуем его, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$. Этот метод позволяет привести уравнение к каноническому виду уравнения окружности.

1. Сгруппируем члены уравнения, содержащие одинаковые переменные:

$(x^2 + 12x) + (y^2 - 2y) + 37 = 0$

2. Дополним каждую группу до полного квадрата. Для выражения $(x^2 + 12x)$ нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $x$, то есть $(\frac{12}{2})^2 = 6^2 = 36$. Для выражения $(y^2 - 2y)$ нужно добавить и вычесть квадрат половины коэффициента при $y$, то есть $(\frac{-2}{2})^2 = (-1)^2 = 1$.

$(x^2 + 12x + 36) - 36 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 37 = 0$

3. Теперь свернем выражения в скобках в полные квадраты и упростим оставшиеся числовые члены:

$(x + 6)^2 + (y - 1)^2 - 36 - 1 + 37 = 0$

$(x + 6)^2 + (y - 1)^2 - 37 + 37 = 0$

$(x + 6)^2 + (y - 1)^2 = 0$

4. Полученное уравнение представляет собой сумму двух квадратов, равную нулю. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(x + 6)^2 \ge 0$ и $(y - 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю.

Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} (x + 6)^2 = 0 \\ (y - 1)^2 = 0 \end{cases}$

5. Решая эту систему, находим значения $x$ и $y$:

$x + 6 = 0 \implies x = -6$

$y - 1 = 0 \implies y = 1$

Таким образом, единственным решением уравнения является пара чисел $(-6; 1)$. Сравнивая этот результат с предложенными вариантами, выбираем вариант Б).

Ответ: Б) (–6; 1)